“Class 9 10/SSC math exercise 9.2 solution” শিরোনামটি বাংলাদেশে ক্লাস ৯ ও ১০ এর এসএসসি পাঠ্যক্রম অনুযায়ী গণিতের অনুশীলনী ৯.২ এর সমস্যাগুলোর সমাধান প্রদর্শন করে। সমাধানগুলি ছাত্রদের সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি বুঝতে সহায়তা করে।
Class 9 10/SSC math exercise 9.2 solution
প্রশ্ন \ ৫ \ \[\frac{1 – cot^260^0}{1 + cot^26^0}\]
সমাধান : প্রদত্ত রাশি = \[\frac{1 – cot^260^0}{1 + cot^26^0}\]
= \[\frac{1 – (cot60^0)^2}{1 + (cot60^0)^2}\]
= \[\frac{1-{\displaystyle\frac13}}{1+{\displaystyle\frac13}}\]
= \[\frac{\displaystyle\frac{3-1}3}{\displaystyle\frac{3+1}3}\]
= \[\frac{\displaystyle\frac{3-1}3}{\displaystyle\frac{3+1}3}\]
= \[ \frac23\times\frac34 \]
= \[ \frac12 \]
প্রশ্ন \ ৬ \ tan45°. sin260°. tan30°. tan60°
সমাধান : প্রদত্ত রাশি = tan45°. sin260°. tan30°. tan60°
= \[ 1\times\left(\frac{\sqrt3} 2\right)^2\times\frac1 {\sqrt3}\times\sqrt3\\\\=1\times\frac34\times\frac1{\sqrt3}\times\sqrt3\\\\=\frac34 \]
প্রশ্ন \ ৭ \ \[ \frac{1-\cos^260^0}{1+\cos^260^0}+sec^260^0 \]
সমাধান : প্রদত্ত রাশি = \[ \frac{1-\cos^260^0} {1+\cos^260^0} + sec^260^0\\\\=\frac{1-\left({\displaystyle\frac12}\right)^2}{1+\left({\displaystyle\frac12}\right)^2}+\left(2\right)^2\\\\=\frac{1-{\displaystyle\frac14}}{1+{\displaystyle\frac14}}+4\\\\=\frac{\displaystyle\frac{4-1}4}{\displaystyle\frac{4+1}4}+4\\\\=\left(\frac34\times\frac45\right)+4\\\\=\frac35+4\\\\=\frac{3+20}5\\\\=\frac{23}5\]
প্রশ্ন \ ৮ \ cos45°.cot260°.cosec230°
সমাধান : প্রদত্ত রাশি = cos45°.cot260°.cosec230°
= \[ \frac1{\sqrt2}\times\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2\times\left(2\right)^2 \] [মান বসিয়ে]
= \[ \frac1{\sqrt2}\times\frac13\times4\\\\=\frac{\sqrt2\times\sqrt2\times2}{\sqrt2\times3}\\\\=\frac{2\sqrt2}3\\\\ \] (অহং.)
দেখাও যে, (৯ -১৫)
প্রশ্ন \ ৯ \ cos2 30° – sin2 30° = cos 60°.
সমাধান : আমরা জানি, \[ \cos30^0=\frac{\sqrt3}2 \]
\[ \cos60^0=\frac12 \]
এবং \[ \sin30^0=\frac12 \]
বামপক্ষ = cos2 30° – sin2 30°
= \[ \left(\frac{\sqrt3}2\right)^2-\left(\frac12\right)^2 \] [মান বসিয়ে]
= \[ \frac34-\frac14\\\\=\frac{3-1}4\\\\=\frac24\\\\=\frac12 \]
ডানপক্ষ = cos 60° = \[ \frac12\]
অর্থাৎ, cos230° – sin2 30° = cos60° (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১০ \ sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° = sin 90°
সমাধান : আমরা জানি, \[ \sin60^0=\frac{\sqrt3}2 \];
\[ \sin30^0=\frac12 \];
\[ \cos30^0=\frac{\sqrt3}2 \]
এবং পড়ং \[ \cos60^0=\frac{1}2 \]
এখন, বামপক্ষ = sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30° = sin 90°
= \[ \frac{\sqrt3}2.\frac{\sqrt3}2+\frac12.\frac12 \] [মান বসিয়ে]
= \[ \frac34+\frac14\\\\=\frac{3+1}4\\\\=\frac44\\\\=1 \]
ডানপক্ষ = sin90° = 1
অর্থাৎ, sin60°.cos30°+cos60° sin30°= sin90° (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১১ \ cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30° = cos 30°
সমাধান :
বামপক্ষ = cos 60° cos 30° + sin 60° sin 30°
= \[ \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac12\]
= \[ \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} \]
= \[ \frac{\sqrt{3}} + \sqrt{3}{4} \]
= \[ \frac{2\sqrt{3}}{4} \]
= \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \]
= cos 30° = ডানপক্ষ
অর্থাৎ, cos60°.cos30° + sin60° sin30° = cos30° [ দেখানো হলো ]
প্রশ্ন \ ১২ \ sin 3A = cos 3ª যদি A= 150 হয়।
সমাধান : দেওয়া আছে, A= 150
বামপক্ষ = sin 3A
= sin (3 × 15°)
= sin 45°
= \[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
ডানপক্ষ = cos (3 × 15°)
= cos 45°
= \[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
অর্থাৎ, sin3A = cos3A (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১৩ \ \[ sin2A = \frac{2tanA}{1 + tan^2A}\] যদি A= 450 হয়।
সমাধান : দেওয়া আছে, A= 450
বামপক্ষ = sin2A = sin(2 × 45°) = sin90° = 1
ডানপক্ষ = \[ \frac{2tanA}{1 + tan^2A}\]
= \[ \frac{2tan45^0}{1 + tan^245^0}\]
= \[ \frac{2 \times 1}{1 + 1^2}\]
= \[ \frac{2}{1 + 1}\]
= \[ \frac{2}{2}\]
= 1
অর্থাৎ, \[ sin2A = \frac{2tanA}{1 + tan^2A}\] (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১৪ \ \[ tan2A = \frac{2tanA}{1 – tan^2A}\] যদি A= 300 হয়।
সমাধান : দেওয়া আছে, A= 300
বামপক্ষ = = tan (2 × 30°) = tan60° = \[ \sqrt{3} \]
ডানপক্ষ = \[ \frac{2tanA}{1 – tan^2A}\]
= \[ \frac{2tan30^0}{1 – tan^230^0}\]
= \[ \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 – (\frac{1}{\sqrt{3}})^2}\]
= \[ \frac{ \frac{2}{\sqrt{3}}}{1 – \frac{1}{3}} \]
= \[ \frac{ \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \]
= \[ \frac{ \frac{2}{\sqrt{3}}}\times {\frac{3}{2}} \]
= \[ \frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}} {\sqrt{3}} \]
= \[ \sqrt{3} \]
অর্থাৎ, \[ tan2A = \frac{2tanA}{1 – tan^2A}\] (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১৫ \ \[ cos2A = \frac{1 – tan^2A}{1 + tan^2A}\] যদি A= 600 হয়।
সমাধান : দেওয়া আছে, A = 60°
বামপক্ষ = cos2A
= cos(2 × 60°)
= cos120°
= cos (90° + 30°)
= – sin30°
= – \[ \frac12 \]
ডানপক্ষ = \[ \frac{1 – tan^2A}{1 + tan^2A}\]
= \[ \frac{1 – tan^260^0}{1 + tan^260^0}\]
= \[ \frac{1 – (\sqrt{3})^2}{1 + (\sqrt{3})^2}\]
= \[ \frac{1 – 3}{1 + 3}\]
= \[ \frac{ – 2}{4}\]
= \[ \frac{ – 1}{2}\]
অর্থাৎ, \[ cos2A = \frac{1 – tan^2A}{1 + tan^2A}\] (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১৬ \ 2 cos(A + B) = 1 = 2 sin(A – B) এবং A, B সূ²কোণ হলে দেখাও যে, A = 45°, B = 15°|
সমাধান : দেওয়া আছে, 2cos (A + B) = 1
বা, cos(A + B) = \[\frac12\]
বা, cos(A + B) = cos 60° [\because cos 60° = \[\frac12\] ]
বা, A + B = 60° ————– (i)
আবার, 2sin (A – B) = 1
বা, sin (A – B) = \[\frac12\]
বা, sin (A – B) = sin 30° [\because sin 30° = \[\frac12\] ]
বা, A – B = 30° —————– (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
2A = 90°
∴ A = \[\frac{90^0}{2} = 45^0\]
A এর মান সমীকরণ (i) – এ বসিয়ে পাই,
B = 60° – A = 60° – 45° = 15°
∴ A = 45° এবং B = 15° (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ১৭ \ cos(A – B) = 1, 2sin(A + B) = \[\sqrt{3} \] এবং A, B সূ²কোণ হলে, A ও B এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : দেওয়া আছে, cos(A – B) = 1
বা, cos(A – B) = cos0°
∴ A – B = 0° ———————– (i)
আবার, 2sin(A + B) = \[\sqrt{3} \]
বা, sin(A + B) = \[\frac{\sqrt{3}}{2} \]
বা, sin(A + B) = sin60°
∴ A + B = 60° ———————– (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
2A = 60°
বা, A = \[\frac{600}{2}\]
বা, A = 30°
A – এর মান সমীকরণ (ii) – এ বসিয়ে পাই,
30° + B = 60°
বা, B = 60° – 30°
∴ B = 30°
নির্ণেয় মান A = 30° এবং B = 30°.
প্রশ্ন \ ১৮ \ সমাধান কর : \[ \frac{\cos A\;-\;\sin A}{\cos A\;+\;\sin A}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1} \]
সমাধান : \[ \frac{\cos A\;-\;\sin A}{\cos A\;+\;\sin A}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1} \]
বা, \[ \frac{\cos A\;-\;\sin A+\cos A\;+\;\sin A}{\cos A\;-\;\sin A-\cos A\;-\;\sin A}=\frac{\sqrt3-1+\sqrt3+1}{\sqrt3-1-\sqrt3-1} \] [যোজন ও বিয়োজন করে]
বা, \[ \frac{2\cos A}{\;-\;2\sin A}=\frac{2\sqrt3}{-2} \]
বা, \[ \frac{cos A}{-sin A}= {-\sqrt3} \]
বা, \[ cotA= {\sqrt3} \]
বা, cotA = cot30°
∴ A = 30° (Ans.)
প্রশ্ন \ ১৯ \ A ও B সূ²কোণ এবং cot(A + B) = 1, cot(A – B) = \[ \sqrt{3}\] হলে, A ও B এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান : ১ম শর্তানুযায়ী
cot(A + B) = 1
বা, cot(A + B) = cot 45° \[ [\because cot 45° = 1] \]
∴ A + B = 45° —————– (i)
আবার, ২য় শর্তানুযায়ী
cot(A – B) = \[ \sqrt{3}\]
বা, cot(A – B) = cot 30° \[ [\because cot 30° = \sqrt{3}] \]
∴ A – B = 30° —————— (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,
2A = 75°
বা, A = \[ \frac{75^0}{2} = 37\frac{1}{2}^0 \]
সমীকরণ (i) থেকে পাই,
B = 450 – A
= 450 – \[ \frac{75^0}{2} \]
= \[ \frac{90^0 – 75^0}{2} \]
= \[ \frac{15^0}{2} \]
= \[ 7\frac{1^0}{2} \]
নির্ণেয় মান A = \[ 37\frac{1}{2}^0 \] ; B = \[ 7\frac{1^0}{2} \]
প্রশ্ন \ ২০ \ দেখাও যে, cos3A = 4 cos3A – 3cosA যদি A = 30° হয়।
সমাধান :
বামপক্ষ = cos3A
= cos (3 × 30°)
= cos 90° = 0 [Q cos90° = 0]
ডানপক্ষ = 4 cos3A – 3cosA
= 4cos330° – 3cos30°
= \[4 . (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 – 3 . \frac{\sqrt{3}}{2} \]
= \[ 4 . \frac{3\sqrt{3}}{8} – \frac{3\sqrt{3}}{2} \]
= \[ \frac{3\sqrt{3}}{2} – \frac{3\sqrt{3}}{2} \]
= 0
অর্থাৎ, cos 3A = 4 cos3A – 3cosA (দেখানো হলো)
প্রশ্ন \ ২১ \ সমাধান কর : sinθ + cosθ = 1 যখন 0° ≤ θ ≤ 90°
সমাধান : দেওয়া আছে, sinθ + cos θ = 1
বা, sinθ = 1 – cosθ
বা, sin²θ = (1 – cosq)2 [ বর্গ করে ]
বা, sin²θ = 1 – 2cosθ + cos²θ
বা, 1 – cos²θ = 1 – 2cosθ + cos²θ [Q sin2q = 1 – cos2q]
বা, 1 – cos²θ – 1 + 2cosθ – cos2θ = 0
বা, – 2cos²θ + 2cosθ = 0
বা, – 2cosθ (cosθ – 1) = 0
হয়, – 2cosθ = 0 অথবা, cosθ – 1 = 0
বা, cosθ = 0 বা, cosθ = 1
বা, cosθ = cos90° [Q cos90° = 0] বা, cosθ = cos 0°
∴ θ = 90° ∴ θ = 0°
নির্ণেয় সমাধান, q = 0° অথবা 90°
প্রশ্ন \ ২২ \ সমাধান কর : cos²θ – sin²θ = 2 – 5 cosθ, যখন θ সূক্ষকোণ।
সমাধান : দেওয়া আছে, cos²θ – sin²θ = 2 – 5 cosq
বা, cos²θ – sin²θ – 2 + 5 cosθ = 0
বা, cos²θ – (1 – cos²θ) – 2 + 5cosθ = 0 [Q sin2q = 1 – cos2q]
বা, cos²θ – 1 + cos²θ – 2 + 5cosθ = 0
বা, 2 cos²θ + 5cosθ – 3 = 0
বা, 2 cos²θ + 6cosθ – cosθ – 3 = 0
বা, 2cosθ (cosθ + 3) – 1 (cosθ + 3) = 0
বা, (cosθ + 3) (2cosθ – 1) = 0
হয়, cosθ + 3 = 0 অথবা, 2cosθ – 1 = 0
বা, cosθ = – 3 বা, 2cosθ = 1
বা, cosθ = \[\frac12\]
যেহেতু, cosθ এর মান সর্বদা – 1 ও + 1 এর মধ্যবর্তী সুতরাং cosθ = – 3 গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, cosθ = \[\frac12\]
বা, cosθ = cos60° \[cos60^0 = [latex]\frac12\]
∴ θ = 60°
নির্ণেয় সমাধান θ = 60°
প্রশ্ন \ ২৩ \ সমাধান কর : 2sin²θ + 3cosθ – 3 = 0, θ সূক্ষকোণ।
সমাধান : 2sin²θ + 3cosθ – 3 = 0
বা, 2(1 – cos2θ) + 3cosθ – 3 = 0
বা, 2 – 2cos²θ + 3cosθ – 3 = 0
বা, – 2cos²θ + 3cosθ – 1 = 0
বা, 2cos²θ – 3cosθ + 1 = 0 [-1 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2cos²θ – 2cosθ – cosθ + 1 = 0
বা, 2cosθ (cosθ – 1) – 1 (cosθ – 1) = 0
বা, (cosθ – 1) (2cosθ – 1) = 0
হয়, cosθ – 1 = 0 অথবা, 2cosθ – 1 = 0
বা, cosθ = 1 = cos0° বা, 2cosθ = 1
∴ θ = 0° বা, cosθ = \[ \frac12 \] = cos60°
∴ θ = 60°
নির্ণেয় সমাধান, θ = 60° [যেহেতু θ সূক্ষকোণ]
প্রশ্ন \ ২৪ \ সমাধান কর : tan²θ – \[ 1 + \sqrt{3} tanq + \sqrt{3} = 0 \]
সমাধান : tan²θ – \[ (1 + \sqrt{3}) tanθ + \sqrt{3} = 0 \]
বা, tan²θ – \[ tanθ – \sqrt{3} tanθ + \sqrt{3} = 0 \]
বা, \[ tanθ( tanθ – 1) – \sqrt{3} (tanθ – 1) = 0 \]
বা, \[ ( tanθ – 1) (tanθ – \sqrt{3}) = 0 \]
হয় tanθ – 1 = ০ অথবা, \[ tanθ – \sqrt{3} = 0 \]
বা, tanθ – 1 = tan45° বা, \[ tanθ = \sqrt{3} = tan60° \]
∴ θ = 45° ∴ θ = 60°
নির্ণেয় সমাধান, θ = 45° এবং 60°
[বি. দ্র. : পাঠ্যবইয়ে উত্তর ভুল আছে]
প্রশ্ন \ ২৫ \ মান নির্ণয় কর : 3cot²60° + \[\frac14\] cosec²30° + 5sin²45° – 4cos²60°
সমাধান : প্রদত্ত রাশি = 3cot²60° + \[\frac14\] cosec²30° + 5sin²45° – 4cos²60°
= \[ 3\times\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2+\frac14\times2^2+5\times\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2-4\times\left(\frac12\right)^2 \]
= \[ 3\times\frac13+\frac14\times4+5\times\frac14-4\times\frac14 \]
= \[ 1+1+\frac52-1 \]
= \[ 1+\frac52 \]
= \[ \frac{2 + 5}2 \]
= \[ \frac72 \]
নির্ণেয় মান \[ \frac72 \]
