Class 9-10 math exercise 7.2 solution || চতুর্ভুজ সংক্রান্ত সম্পাদ্য
চতুর্ভুজ অঙ্কন : ত্রিভুজের তিনটি উপাত্ত দেওয়া থাকলে অনেক ক্ষেত্রেই ত্রিভুজটি নির্দিষ্টভাবে আঁকা সম্ভব। কিন্তু চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় :
(১) চারটি বাহু ও একটি কোণ; (২) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ; (৩) তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ; (৪) তিনটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ;
(৫) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।
অঙ্কনের কৌশল লক্ষ করে দেখা যায়, কিছু ক্ষেত্রে সরাসরি চতুর্ভুজ আঁকা হয়। আবার কিছু ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কনের মাধ্যমে চতুর্ভুজ আঁকা হয়। যেহেতু কর্ণ চতুর্ভুজকে দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে, সেহেতু উপাত্ত হিসেবে একটি বা দুইটি কর্ণ প্রদত্ত হলে ত্রিভুজ অঙ্কনের মাধ্যমে চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব হয়।
অনুশীলনীর সমাধান
১। সমকোণী ত্রিভুজের অপর দুইটি কোণের পরিমাণ দেওয়া থাকলে নিম্নের কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
ক. 63° ও 36°
খ. 30° ও 70°
গ. 40° ও 50°
ঘ. 80° ও 20°
ব্যাখ্যা : সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ। বাকি দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হবে। সুতরাং 40° + 50° = 90°
২। i. আয়ত একটি সামান্তরিক ii. বর্গ একটি আয়ত iii. রম্বস একটি বর্গ
ওপরের তথ্যের আলোকে নিম্নের কোনটি সঠিক?
ক. i ও ii
খ. i ও iii
গ. ii ও iii
ঘ. i, ii ও iii
ব্যাখ্যা : iii. সত্য নয়। কারণ বর্গের সবগুলো কোণই সমকোণ কিন্তু রম্বসের কোনো কোণই সমকোণ নয়।
প্রদত্ত চিত্রের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও
৩। ΔAOB এর ক্ষেত্রফল কত?
ক. 6 বর্গ একক
খ.7 বর্গ একক
গ. 12 বর্গ একক
ঘ. 14 বর্গ একক
ব্যাখ্যা : চিত্রে ∠COD = 90° হওয়ায় ∠AOB = 90°
∴ AOB এর ক্ষেত্রফল = \[\frac12\] ×3 × 4 = 6 বর্গ একক।
৪। চতুর্ভুজটির পরিসীমা
ক. 12 একক
খ. 14 একক
গ. 20 একক
ঘ. 28 একক
ব্যাখ্যা : ∠COD = 90° সুতরাং অঈ ও ইউ কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব ABCD একটি রম্বস।
ΔCOD হতে পাই,
CD2 = CO2 + OD2
বা, CD = \[\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
∴ AB = BC = CD = AD = 5
∴ ABCD এর পরিসীমা = 4 × 5 = 20 একক।
প্রশ্ন \ ৫ \ নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে চতুর্ভুজ অঙ্কন কর :
(ক) চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 2.5 সে.মি. ও 3 সে.মি. এবং একটি কোণ 45° ।
সমাধান :
একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু x, y, p, q যথাক্রমে 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 2.5 সে.মি. ও 3 সে.মি. এবং কোণ ∠z = 45° দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি AE থেকে y এর সমান করে AD অংশ কেটে নিই। AD এর A বিন্দুতে ∠z এর সমান করে ∠DAF আঁকি।
(২) AF থেকে x এর সমান করে AB অংশ কেটে নিই।
(৩) এখন, B ও D বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে p ও q এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠BAD এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) এখন B, C ও C, D যোগ করি।
সুতরাং, ABCD -ই নির্ণেয় চতুর্ভুজ।
(খ) চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি., 4 সে.মি., 2.5 সে.মি. ও 3.5 সে.মি. এবং একটি কর্ণ 5 সে.মি.।
সমাধান :
মনে করি, চতুর্ভুজের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3.5 সে.মি., b = 4 সেমি, c = 2.5 সে.মি. ও d = 3.5 সে.মি. এবং কর্ণ e = 5 সে.মি. দেওয়া আছে যেখানে, a + b > e এবং c + d > e। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে e এর সমান করে BD রেখাংশ কেটে নিই।
(২) D ও D কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে a ও b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্ত চাপদ্বয় A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) আবার, B ও D কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে d ও c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর যেদিকে A আছে তার বিপরীত দিকে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই বৃত্ত চাপদ্বয় পরস্পর C বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) A ও B, A ও D, B ও C এবং C ও D যোগ করি। তাহলে, ABCD -ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।
(গ) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.2 সে.মি., 3 সে.মি., 3.5 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণ 2.8 সে.মি. ও 4.5 সে.মি.।
সমাধান :
মনে করি, একটি চতুর্ভুজের তিনটি বাহু a = 3.2 সে.মি., b = 3 সে.মি., c = 3.5 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণ d = 2.8 সে.মি. ও c = 4.5 সে.মি. দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি AE থেকে AB = a = 3.2 সে.মি. কেটে নিই।
(২) A ও B বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে c = 3.5 সে.মি. ও d= 2.8 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
(৩) বৃত্তচাপ দুইটি D বিন্দুতে ছেদ করে। D, A এবং D, B যোগ করি।
(৪) আবার, A ও B বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে c= 4.5 সে.মি. এবং b = 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
(৫) বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পর C বিন্দুতে ছেদ করে। (C, A), (C, B) এবং (C, D) যোগ করি। তাহলে ABCD -ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।
(ঘ) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি., 3.5 সে.মি., 4 সে.মি. এবং দুইটি কোণ 60° ও 45° ।
সমাধান :
মনে করি, চতুর্ভুজের তিনটি বাহু a = 3 সে.মি., b = 3.5 সে.মি., c = 4 সে.মি. এবং দুইটি কোণ ∠x = 60° ও ∠y = 45° দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = c নিই।
(২) BC রেখাংশের B ও C বিন্দুতে ∠x ও ∠y এর সমান করে ∠CBF এবং ∠BCG আঁকি।
(৩) BF রশ্মি থেকে b এর সমান করে BA রেখাংশ কেটে নিই এবং CG রশ্মি থেকে a এর সমান করে CD রেখাংশ কেটে নিই।
(৪) A, D যোগ করি। তাহলে, ABCD -ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।
প্রশ্ন \ ৬ \ নিম্নে প্রদত্ত উপাত্ত নিয়ে সামান্তরিক অঙ্কন কর :
ক. দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি., 6.5 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ 45° ।
সমাধান :
মনে করি, সামান্তরিকের কর্ণ দুইটি a = 4 সে.মি. b = 6.5 সে.মি. এবং কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ ∠x = 45° দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি AE থেকে a এর সমান করে AC রেখাংশ কেটে নিই।
(২) AC এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করি।
(৩) O বিন্দুতে ∠x এর সমান করে ∠AOP অঙ্কন করি। OC এর বিপরীত রশ্মি OQ অঙ্কন করি। OP ও OQ রশ্মিদ্বয় হতে \[\frac12 b\] এর সমান করে OB ও OD রেখাংশদ্বয় কেটে নিই।
(৪) A, B; A, D; C, B ও C, D যোগ করি। তাহলে, ABCD -ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
খ. দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. 6.5 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ 30° ।
সমাধান :
মনে করি, সামান্তরিকের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য a = 5 সে.মি. b = 6.5 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ ∠x = 30° দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি AB থেকে a এর সমান করে AC রেখাংশ কেটে নিই।
(২) AC এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করি।
(৩) O বিন্দুতে ∠x এর সমান করে ∠AOP অঙ্কন করি। OC এর বিপরীত রশ্মি OQ অঙ্কন করি। OC ও OQ রশ্মিদ্বয় হতে \[\frac12 b\] এর সমান করে OB ও OD রেখাংশদ্বয় কেটে নিই।
(৪) A, B; A, D; C, B ও C, D যোগ করি। তাহলে, ABCD -ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
গ. একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি., 6.5 সে.মি.।
সমাধান :
মনে করি, সামান্তরিকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য b = 5 সে.মি. ও c = 6.5 সে.মি. দেওয়া আছে। সমান্তরিকটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) b ও c কর্ণদ্বয়কে সমান দুইভাগে বিভক্ত করি।
(২) যেকোনো রশ্মি AE থেকে a এর সমান করে AB রেখাংশ কেটে নিই।
(৩) A ও B কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে \[\frac b2\] ও \[\frac c2\] এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। মনে করি, বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। A, O ও B, O যোগ করি।
(৪) AO কে AF বরাবর এবং BO কে BG বরাবর বর্ধিত করি। OF থেকে \[\frac b2 = OC \] এবং OG থেকে \[\frac c2 = OD \] নিই।
(৫) A, D; D, C ও B, C যোগ করি।
তাহলে, ABCD – ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক
ঘ. একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 4.5 সে.মি., 6 সে.মি.।
সমাধান :
মনে করি, সামান্তরিকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 5 সে.মি. এবং দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য b = 6 সে.মি. ও c = 4.5 সে.মি. দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) b ও c কর্ণদ্বয়কে সমান দুইভাগে বিভক্ত করি। যেকোনো রশ্মি অঊ থেকে ধ এর সমান করে অই রেখাংশ কেটে নিই।
(২) A ও B কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে \[\frac b2 = OD \] ও \[\frac c2 = OD \] এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। মনে করি, বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। A, O ও B, O যোগ করি।
(৩) AO কে AF বরাবর এবং BO কে BG বরাবর বর্ধিত করি। OF থেকে \[\frac b2 = OC \] এবং OG থেকে \[\frac c2 = OD \] নিই।
(৪) A, D; D, C ও B, C যোগ করি।
তাহলে, ABCD -ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক
প্রশ্ন \ ৭ \ ABCD চতুর্ভুজের AB ও BC বাহু এবং ∠B, ∠C ও ∠D কোণ দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁক।
সমাধান :
মনে করি, একটি চতুর্ভুজ ABCD এর দুইটি বাহু BC = b ও AB = a এবং তিনটি কোণ ∠B, ∠C ও ∠D দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) BE রশ্মি হতে BC = b কেটে নিই।
(২) B ও C বিন্দুতে ∠B ও ∠C এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF এবং , ∠BCG আঁকি। এখন BF হতে AB = a কেটে নিই।
(৩) A বিন্দুতে , ∠BAD = ∠D আঁকি। AD রেখা CG রেখাংশকে D বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে ABCD -ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।
প্রশ্ন \ ৮ \ ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটির ছেদবিন্দু দ্বারা কর্ণ দুইটির চারটি খণ্ডিত অংশ এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ যথাক্রমে OA = 4 সে.মি., OB = 5 সে.মি., OC = 3.5 সে.মি., OD = 4.5 সে.মি. ও ∠AOB = 80°. চতুর্ভুজটি আঁক।
সমাধান :
ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটির ছেদবিন্দু কর্ণ দুটিকে চারটি অংশে যথাক্রমে, OA = 4 সে.মি., OB = 5 সে.মি., OC = 3.5 সে.মি., OD = 4.5 সে.মি. খণ্ডিত করে এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ ∠AOB = 80°. দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) AE যেকোনো একটি সরলরেখা নিই। AE রেখা হতে 4 সে.মি. এর সমান করে AO এবং 3.5 সে.মি. এর সমান করে OC অংশ কেটে নিই।
(২) AO রেখার O বিন্দুতে ∠AOB এর সমান করে ∠AOF আঁকি। OF এর বিপরীত দিক OA টানি ।
(৩) OF রেখা হতে F সে.মি. এর সমান করে OB এবং OA হতে 4.5 সে.মি. এর সমান করে OD অংশ কেটে নিই।
(৪) এখন, A, B; B, C; C, D ও A, D যোগ করি।
সুতরাং, ABCD নির্ণেয় চতুর্ভুজ অঙ্কিত হলো।
প্রশ্ন \ ৯ \ রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি. ও একটি কোণ 45°; রম্বসটি আঁক।
সমাধান :
মনে করি, একটি রম্বসের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x = 3.5 সে.মি. ও একটি কোণ ∠q = 45° দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো একটি সরলরেখা AE নিই। AE হতে x এর সমান করে AD অংশ কেটে নিই।
(২) AD এর A বিন্দুতে ∠q এর সমান করে ∠DAF আঁকি। AF হতে x এর সমান করে AB অংশ কেটে নিই।
(৩) এখন B ও D বিন্দুকে কেন্দ্র করে x এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠A এর বিপরীত পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। উক্ত বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর C বিন্দুতে ছেদ করল।
(৪) এখন, B, C ও C, D যোগ করি।
সুতরাং ABCD নির্ণেয় রম্বস অঙ্কিত হলো।
প্রশ্ন \ ১০ \ রম্বসের একটি বাহু এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁক।
সমাধান :
মনে করি, রম্বসের একটি বাহু a ও একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য e দেওয়া আছে, রম্বসটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রেখা BE থেকে e এর সমান করে BD অংশ কেটে নিই।
(২) এখন B বিন্দুতে a এর সমান করে BD এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি।
(৩) আবার, D বিন্দুতে BD এর উভয় পাশে আরও দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই চাপদ্বয় পূর্বের চাপদ্বয়কে A ও C বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) এখন, A ও B, B ও C, C ও D এবং D ও A বিন্দুগুলো যোগ করি। তাহলে ABCD -ই উদ্দিষ্ট রম্বস।
প্রশ্ন \ ১১ \ রম্বসের দ্ইুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁক।
সমাধান :
মনে করি, p ও q দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে, রম্বসটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রেখা BE থেকে কর্ণ p এর সমান করে BD অংশ কেটে নিই। BD রেখাকে O বিন্দুতে GH রেখা দ্বারা সমদ্বিখণ্ডিত করি।
(২) এখন O কে কেন্দ্র করে q এর অর্ধেকের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BD এর উভয় পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এই চাপদ্বয় GH রেখাকে যথাক্রমে A ও C বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) এখন A ও B, B ও C, C ও D এবং D ও A বিন্দুগুলো যোগ করি। তাহলে ABCD – ই উদ্দিষ্ট রম্বস।
প্রশ্ন \ ১২ \ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা দেওয়া আছে। বর্গক্ষেত্রটি আঁক।
সমাধান :
মনে করি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা p। বর্গক্ষেত্রটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) p কে প্রথমে p2 বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি। আবার p2 কে p1 বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করি।
(২) এখন, AE যেকোনো রশ্মি থেকে \[\frac P4\] এর সমান করে AD অংশ কেটে নিই।
(৩) A বিন্দুতে AF লম্ব আঁকি। AF হতে AB = AD কেটে নিই। B ও D বিন্দুকে কেন্দ্র করে AB অথবা AD এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠A এর মধ্যবর্তী অংশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পর C বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) C ও B এবং C ও D যোগ করি।
তাহলে, ABCD নির্ণেয় বর্গক্ষেত্র।
প্রশ্ন \ ১৩ \ জকী ও জাফর সাহেবের বসত বাড়ি একই সীমারেখার মধ্যে অবস্থিত এবং বাড়ির ক্ষেত্রফল সমান। তবে জকী সাহেবের বাড়ির আকৃতি আয়তাকার এবং জাফর সাহেবের বাড়ি সামান্তরিক আকৃতির।
ক. ভূমির দৈর্ঘ্য 10 একক এবং উচ্চতা 8 একক ধরে তাদের বাড়ির সীমারেখা অঙ্কন কর।
খ. দেখাও যে, জকী সাহেবের বাড়ির পরিসীমা জাফর সাহেবের বাড়ির পরিসীমা অপেক্ষা ছোট।
গ. জকী সাহেবের বাড়ির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3 এবং ক্ষেত্রফল 300 বর্গ একক হলে, তাদের বাড়ির ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান :
ক. প্রশ্নমতে, জকী ও জাফর সাহেবের বসত বাড়ি একই সীমারেখার মধ্যে অবস্থিত এবং বাড়ির ক্ষেত্রফল সমান। জকীর বাড়ির আকৃতি আয়তাকার এবং জাফর সাহেবের বাড়ি সামান্তরিক আকৃতির।
ভূমির দৈর্ঘ্য 10 একক এবং উচ্চতা 8 একক ধরে তাদের বাড়ির সীমারেখা নিচে অঙ্কন করা হলো :
চিত্রে ABEF এবং ABCD হলো যথাক্রমে জকী ও জাফর সাহেবের বাড়ি।
খ. দেখাতে হবে যে, জকী সাহেবের বাড়ির পরিসীমা জাফর সাহেবের বাড়ির পরিসীমা অপেক্ষা ছোট।
প্রশ্নমতে, জকী এবং জাফর সাহেবের বাড়ির ক্ষেত্রফল সমান।
অর্থাৎ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হওয়ায়,
জকী সাহেবের বাড়ি (ABEF আয়তক্ষেত্র) এবং জাফর সাহেবের বাড়ি (ABCD সামান্তরিক) একই ভূমি AB-এর ওপর এবং একই সমান্তরাল যুগল AB ও CE-এর মধ্যে অবস্থিত।
দেখা যায় যে, জকীর বাড়ির প্রতিটি কোণ সমকোণ।
সুতরাং ΔBCE সমকোণী ত্রিভুজ। BC,
ΔBCE-এর অতিভুজ হওয়ায় BC > BE×
এখন, জকীর বাড়ির পরিসীমা = 2(AB + BE)
= 2AB + 2BE
এবং জাফর সাহেবের বাড়ির পরিসীমা = 2(AB + BC)
= 2AB + 2BC
যেহেতু BC > BE
সুতরাং 2AB + 2BC > 2AB + 2BE
অর্থাৎ জকীর বাড়ির পরিসীমা জাফর সাহেবের বাড়ির পরিসীমা অপেক্ষা ছোট।
গ. প্রশ্নমতে, জকীর বাড়ির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = 4 : 3
মনে করি, জকীর বাড়ির দৈর্ঘ্য = 4x একক
এবং প্রস্থ = 3x একক
∴ জকীর বাড়ির ক্ষেত্রফল = (4x, 3x) বর্গ একক
= 12x2 বর্গ একক
তাহলে, 12x2 = 300
বা, x2 = \[\frac{300}{12}\]
বা, x2 = 25
বা, x = \[\sqrt{25}\]
∴ x = 5 একক
জকীর বাড়ির দৈর্ঘ্য = (4 × 5) একক
= 20 একক
এবং প্রস্থ = (3 × 5) একক
= 15 একক
চিত্র অনুসারে, জাফর সাহেবের বাড়ির ক্ষেত্রফল
= (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
= ah বর্গ একক
= (20 × 15) বর্গ একক
= 300 বর্গ একক
∴ জকী ও জাফর সাহেবের বাড়ির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 300 : 300 = 1 : 1
প্রশ্ন \ ১৪ \ একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে.মি. ও এক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.
ওপরের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :
ক. ত্রিভুজটির অপর বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
খ. ত্রিভুজটি অঙ্কন কর। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
গ. ত্রিভুজটির পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন কর। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)
সমাধান :
(ক) দেওয়া আছে, অতিভুজ = 5 সে.মি., এক বাহু = 4 সে.মি. এবং অপর বাহু = ?
আমরা জানি, (অতিভুজ)2 = (এক বাহু)2 + (অপর বাহু)2
বা, 52 = 42 + (অপর বাহু) 2
বা, 25 = 16 + (অপর বাহু) 2
বা, (অপর বাহু) 2 = 25 – 16
বা, (অপর বাহু) 2 = 9
∴ অপর বাহু = \[\sqrt{9}\] = 3 সে.মি.
∴ নির্ণেয় অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 3 সে.মি. (প্রায়)
(খ)
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ b = 5 সে.মি. এবং অপর বাহু দুইটি c = 4 সে.মি. ও a = 3 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে a এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই।
(২) BC রেখার B বিন্দুতে ∠CBD = 900 অঙ্কন করি।
(৩) BC রেখার B ওC কে কেন্দ্র করে c ও b এর ব্যাসার্ধ নিয়ে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি যা BD রশ্মির A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) A, C যোগ করি। তাহলে, ΔABC -ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।
(গ) খ থেকে পাই, ΔABC -এর পরিসীমা = AB + BC + AC
= 4 + 3 + 5
= 12
∴ ত্রিভুজটির পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গ আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে \[\frac{1}{4}\]P এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BA রেখাংশ অঙ্কন করি।
(২) BC রেখার B বিন্দুতে BF লম্ব আঁকি। BF রশ্মি থেকে \[\frac{1}{4}\]P এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BA রেখাংশ কেটে নিই।
(৩) এখন, A ও C কে কেন্দ্র করে \[\frac{1}{4}\]P এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর D বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) A, D ও C, D যোগ করি। তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট বর্গ।
প্রশ্ন \ ১৫ \ ABCD চতুর্ভুজের AB = 4 সে.মি., BC = 5 সে.মি.। ∠A = 85°, ∠B = 80°এবং ∠C = 95°
ওপরের তথ্যের আলোকে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
ক. ∠D এর মান নির্ণয় কর।
খ. প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী ABCD চতুর্ভুজটি অঙ্কন কর। (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)।
গ. প্রদত্ত বাহু দুইটিকে একটি সামন্তরিকের বাহু এবং ∠B = 80° ধরে সামন্তরিকটি অঙ্কন কর (অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক)।
সমাধান :
ক. দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের ∠A = 85°, ∠B = 80° এবং ∠C = 95°
আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণ বা 360°
অর্থাৎ, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
বা, 85° + 80° + 95° + ∠D = 360°
বা, 260° + ∠D = 360°
বা, ∠D = 360° – 260°
∴ D = 100°
খ.
মনে করি, একটি চতুর্ভুজের দুইটি সন্নিহিত বাহু AB = 4 সে.মি. BC = 5 সে.মি. এবং তিনটি কোণ ∠A = 85°, ∠B = 80°, এবং ∠C = 95°, দেওয়া আছে। চতুর্ভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC = 5 সে.মি. নিই।
(২) B ও C বিন্দুতে ∠B ও ∠C এর সমান করে যথাক্রমে ∠CBF ও ∠BCG অঙ্কন করি।
(৩) BF থেকে BA = 4 সে.মি. অংশ নিই। A বিন্দুতে ∠A এর সমান করে ∠BAH অঙ্কন করি।
(৪) AH ও CG পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, ABCD ই উদ্দিষ্ট চতুর্ভুজ।
গ.
মনে করি, একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু a = 4 সে.মি. ও b = 5 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুজ কোণ ∠B = 800 দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।
অঙ্কন :
(১) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BC =b নিই।
(২) b বিন্দুতে ∠EBF = ∠B = 800 অঙ্কন করি। BF থেকে a এর সমান BA নিই।
(৩) A ও C কে কেন্দ্র করে যথাক্রমে b ও a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ∠ABC এর অভ্যন্তরে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। এরা পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) A, D ও C, D যোগ করি। তাহলে, ABCD -ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।
Class 7 math exercise 7.2 solution pdf
