এই অধ্যায়ে, আমরা “Class 9-10/SSC math chapter 10 solution : অনুশীলনী-১০ দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক সমস্যাবলী” সম্পর্কিত বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার সমাধান শেখার জন্য অনুশীলনী-১০ এর বিস্তারিত সমাধান প্রদান করেছি। এখানে ত্রিভুজ, পিরামিড, এবং অন্যান্য শারীরিক রূপের উচ্চতা এবং দূরত্ব নির্ধারণের পদ্ধতি ব্যাখ্যা করা হয়েছে। শিক্ষার্থীরা এই অধ্যায়ের মাধ্যমে যেকোনো ধরণের গাণিতিক সমস্যার সমাধানে দক্ষতা অর্জন করবে।
Class 9-10/SSC math chapter 10 solution : অনুশীলনী-১০ দূরত্ব ও উচ্চতা বিষয়ক সমস্যাবলী
১. একটি দন্ডের দৈর্ঘ্যের বর্গ তাঁর ছায়ার দৈর্ঘ্যের বর্গের এক তৃতীয়াংশ হলে ছায়ার প্রান্ত বিন্দুতে সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
ক) 15°
খ) 30°
গ) 45°
ঘ) 60°
উত্তরঃ খ
২. পাশের চিত্রে x এর মান নিচের কোনটি?
ক) \frac{\sqrt{3}}{60}
খ) \frac{60}{\sqrt{3}}
গ) 60\sqrt{2}
ঘ) 60\sqrt{3}
উত্তরঃ খ
৩. পাশের চিত্রে O বিন্দুতে P বিন্দুর উন্নতি কোণ কোনটি?
ক) ∠QOB
খ) ∠POA
গ) ∠QOA
ঘ) ∠POB
উত্তরঃ খ
৪. অবনতি কোণের মান কত ডিগ্রি হলে একটি খুটির দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে?
ক) 30°
খ) 45°
গ) 60°
ঘ) 90°
উত্তরঃ খ
পাশের চিত্র অনুযায়ী ৫-৬ নং প্রশ্ন দুইটির উত্তর দাও।
৫. BC এর দৈর্ঘ্য কত?
ক) \frac{4}{\sqrt{3}} মিটার
খ) 4 মিটার
গ) 4\sqrt{2} মিটার
ঘ) 4\sqrt{3} মিটার
উত্তরঃ খ
৬. AB এর দৈর্ঘ্য হবে?
ক) \frac{4}{\sqrt{3}} মিটার
খ) 4 মিটার
গ) 4\sqrt{2} মিটার
ঘ) 4\sqrt{3} মিটার
উত্তরঃ ঘ
৭. উন্নতি কোণ-
(i) 30° হলে, ভুমি>লম্ব হবে।
(ii) 45° হলে ভুমি=লম্ব হবে।
(iii) 60° হলে লম্ব<ভুমি হবে
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) ii ও iii
গ) i ও iii
ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ক
৮. পাশের চিত্রে-
(i) ∠DAC অবনতি কোণ
(ii) ∠ACB উন্নতি কোণ
(iii) ∠DAC=∠ACB
নিচের কোণটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) ii ও iii
গ) i ও iii
ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ
৯. ভূরেখার অপর নাম কী?
ক) লম্বরেখা
খ) সমান্তরাল রেখা
গ) শয়ন রেখা
ঘ) ঊর্ধবরেখা
উত্তরঃ গ
১০. একটি মিনারের পাদদেশ থেকে কিছু দূরে একটি স্থানে মিনারটির শীর্ষের উন্নতি 30° এবং মিনারটির উচ্চতা 26 মিটার হলে, মিনার থেকে ঐ স্থানটির দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, মিনারটির পাদবিন্দু C, ভূতলের নির্দিষ্ট স্থান B এবং শীর্ষবিন্দু A.
C থেকে B এর দূরত্ব CB=x মিটার, AC=26 মিটার এবং B বিন্দুতে মিনারটির শীর্ষের উন্নতি ∠ABC=30°
△ABC থেকে পাই,
tan∠ABC = \frac{AC}{BC}
বা, tan30° = \frac{26}{x}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{26}{x}
বা, x = 26 × {\sqrt{3}}
বা, x=45.033 (প্রায়)
∴মিনারের পাদদেশ থেকে স্থানটির দূরত্ব 45.033 মিটার (প্রায়)
১১. একটি গাছের পাদদেশ থেকে 20 মিটার দূরে ভূতলের কোনো বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, গাছের উচ্চতা AC=h মিটার,
এখানে, গাছের পাদদেশ থেকে ভূতলস্থ B বিন্দুতে গাছের চূড়ার উন্নতি ∠ABC=60°
△ABC থেকে পাই,
tan∠ABC= \frac{AC}{BC}
বা, tan60° = \frac{h}{20}
বা, {\sqrt{3}} = \frac{h}{20}
বা, h=20 × {\sqrt{3}}
বা, h = 34.641 (প্রায়)
∴গাছটির উচ্চতা মিটার 34.641(প্রায়)
১২. 18 মিটার দৈর্ঘ্য একটি মই ভূমির সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে দেওয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, ছাদের স্পর্শবিন্দু B এবং দেওয়ালের উচ্চতা AB = h মিটার। এখানে, মইয়ের দৈর্ঘ্য OB = 18 মিটার এবং ∠AOB = 45°
△AOB থেকে পাই,
sin∠AOB = \frac{AB}{OB}
বা, sin45° = \frac{h}{18}
বা, \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h}{18}
বা, h = \frac{18}{\sqrt{2}}
বা, h = 12.728 (প্রায়)
∴ দেওয়ালের উচতা = 12.728 মিটার (প্রায়)
১৩. একটি ঘরের ছাদের কোনো বিন্দুতে ঐ বিন্দু থেকে 20 মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, ঘরটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, ঘরের ছাদের উচ্চতা, AB=h মিটার, ভূতলস্থ C বিন্দুর অবনতি ∠CAD = 30° এবং AC=20 মিটার।
∴∠CAD=∠ACB = 30° [DA।।BC এবং একান্তর কোণ]
△ABC থেকে পাই,
sin∠ACB = \frac{AB}{AC}
বা, sin30° = \frac{h}{20}
বা, \frac{1}{2} = \frac{h}{20}
বা, 2h = 20
বা, h = \frac{20}{2}
বা, h=10
∴ঘরের উচ্চতা 10 মিটার।
১৪. ভুতলে কোনো স্থানে একটি স্তম্ভের শীর্ষের উন্নতি 60°। ঐ স্থান থেকে 25 মিটার পিছিয়ে গেলে স্তম্ভটির উন্নতি কোণ 30° হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি,
স্তম্ভের উচ্চতা AB=h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ACB = 60°। C বিন্দু থেকে CD = 25 মিটার পিছিয়ে গেকে উন্নতি ∠ADB=30° হয়।
ধরি, BC = x মিটার
∴ BD = BC + CD = (x+25) মিটার
△ABC থেকে পাই,
tan60° = \frac{AB}{BC}
বা, \sqrt{3} = \frac{h}{x}
বা, x= \frac{h}{\sqrt{3}} – —- …(i)
আবার,
△ABD থেকে পাই,
∠ADB = \frac{AB}{BD}
বা, tan30° = \frac{h}{x + 25}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 25}
বা, {\sqrt{3}} . h = x+25
বা, {\sqrt{3}} . h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 25
[(i) নং থেকে x এর মান বসিয়ে]
বা, {\sqrt{3}} . h – \frac{h}{\sqrt{3}} = 25
বা, \frac{3h – h}{\sqrt{3}} = 25
বা, 2h = 25 × \sqrt{3}
বা, h = \frac{25 × \sqrt{3}}{2}
বা, h = 21.651 (প্রায়)
∴স্তম্ভের উচ্চতা 21.651 মিটার (প্রায়)
১৫. কোনো স্থান থেকে একটি মিনারের দিকে 60 মিটার এগিয়ে আসলে মিনারের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি 45° থেকে 60° হয়। মিনারটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, মিনারের উচ্চতা AB=h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ADB=45°। D বিন্দু থেকে CD = 60 মিটার এগিয়ে আসলে উন্নতি ∠ACB=60° হয়।
ধরি, BC=x মিটার
∴BD = BC + CD = (x + 60) মিটার.
△ABC থেকে পাই,
বা, tan60° = \frac{AB}{AC}
বা, \sqrt{3} = \frac{h}{x}
বা, x = \frac{h}{\sqrt{3}}
আবার, △ABD থেকে পাই,
tan45° = \frac{AB}{BD}
বা, 1 = \frac{h}{x + 60}
বা, h = x + 60
বা, h= \frac{h}{\sqrt{3}} + 60
[(i) নং থেকে x এর মান বসিয়ে]
বা, h – \frac{h}{\sqrt{3}} = 60
বা, \frac{\sqrt{3}h – h}{\sqrt{3}} = 60
বা, \sqrt{3}h – h = 60 × \sqrt{3}
বা, {h(\sqrt{3} – 1)} = 60 ×\sqrt{3}
বা, h = \frac{60 × \sqrt{3}}{(\sqrt{3} – 1)}
বা, h=141.962 (প্রায়)
∴মিনারটির উচ্চতা 141.962 মিটার (প্রায়)
১৬. একটি নদীর তীর কোনো এক স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, ঠিক সোজাসোজি অপর তীরে অবস্থিত একটি টাওয়ারের উন্নতি কোণ 60° । ঐ স্থান থেকে 32 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ 30° হয়। টাওয়ারের উচ্চতা এবং নদীর বিস্তার নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা AB=h মিটার এবং টাওয়ারের উন্নতি ∠ACB = 60°। C বিন্দু থেকে CD = 96 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি ∠ADB = 30° হয়।
ধরি, নদীর বিস্তার BC = x মিটার।
∴ BD = BC + CD = (x + 96) মিটার।
△ABC থেকে পাই,
tan∠ACB = \frac{AB}{BC}
বা, tan60° = \frac{h}{x}
বা, \sqrt{3} = \frac{h}{x}
বা, x = \frac{h}{\sqrt{3}} ———– (i)
আবার, △ADB থেকে পাই,
tan∠ADB = \frac{AB}{BD}
বা, tan30° = \frac{h}{x + 96}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{h}{x + 96}
বা, \sqrt{3} × h = x + 96
বা, \sqrt{3} × h = \frac{h}{\sqrt{3}} +96
[(i) নং থেকে x এর মান বসিয়ে]
বা, \sqrt{3} × h – \frac{h}{\sqrt{3}} = 96
বা, \frac{3h – h}{\sqrt{3}} = 96
বা, 2h = 96 × \sqrt{3}
বা, h = \frac{96 × \sqrt{3}}{2}
বা, h = 83.138 (প্রায়)
(i) নং এ h এর মান বসিয়ে পাই,
x = \frac{96 × \sqrt{3}}{2} × \frac{1}{\sqrt{3}} = 48
∴ টাওয়ারের উচ্চতা 83.138 মিটার এবং নদীর বিস্তার 48 মিটার (প্রায়)।
১৭. 64 মিটার লম্বা একটি খুটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ না হয়ে ভূমির সাথে 60° উৎপন্ন করে। খুটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, খুটিটির উচ্চতা AB=64 মিটার। খুটিটির C বিন্দুতে x মিটার অংশ ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ∠BDC = 60° কোণ উৎপন্ন করে।
∴AC=CD=x মিটার
∴BC=(64-x) মিটার
এখন, △BCD এ
sin∠BDC = \frac{BC}{CD}
বা, sin60° = \frac{64 – x}{x}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{64 – x}{x}
বা, \sqrt{3}x = 128 – 2x
বা, \sqrt{3}x + 2x = 128
বা, x(\sqrt{3} + 2) = 128
বা, x = \frac{128}{\sqrt{3} + 2}
বা, x = 34.298 (প্রায়)।
∴খুটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = 34.298 মিটার।
১৮. একটি গাছ এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে 30° কোণ করে গাছের গোড়া থেকে 12 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, গাছটির সম্পূর্ণ অংশের দৈর্ঘ্য AB=h মিটার, গাছটি BC=x মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙ্গা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে ∠BCD=30° উৎপন্ন করে গাছটির গোড়া থেকে BD=30 মিটার দূরে মাটি স্পপর্শ করে।
এখানে, CD=AC=AB-BC=(h-x) মিটার।
এখন, △BCD এ
tan∠BDC = \frac{BD}{BC}
বা, tan30°= \frac{12}{x}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{x}
বা, x = 12\sqrt{3} …………….….(i)
আবার,
sin∠BDC = \frac{BD}{CD}
বা, sin30° = \frac{12}{h – x}
বা, \frac{1}{2} = \frac{12}{h – x}
বা, h – x = 24
বা, h = 24 + x
বা, h = 24 + 12 \sqrt{3} [(i) নং থেকে মান বসিয়ে]
বা, h = 44.785 (প্রায়)।
∴গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = 44.785 মিটার (প্রায়)।
১৯. একটি নদির তীরে কোনো স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, ঠিক সোজাসুজি অপর তীরে অবস্থিত 150 মিটার লম্বা একটি গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। লোকটি একটি নৌকা যোগে গাছটিকে লক্ষ্য করে যাত্রা শুরু করলো। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে লোকটি গাছ থেকে 10 মিটার দূরে তীরে পৌছাল।
ক) উপরোক্ত বর্ণনাটি চিত্রের মাধ্যমে দেখাও।
সমাধানঃ
মনে করি, নদীর বিস্তার AB=x মিটার, A বন্দুতে BC = 150 মিটার গাছে শীর্ষের উন্নতি ∠ACB = 30° এবং অপর তীরে নৌকার অবস্থান D বিন্দুতে হলে AD = y মিটার এবং BD=10 মিটার।
খ) নদীর বিস্তার নির্ণয় কর।
এখন, △ABC এ
tan∠CAB = \frac{BC}{AB}
বা, tan30° = \frac{150}{x}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150}{x}
বা, x = 150 × \sqrt{3}
বা, x = 259.808 (প্রায়)
∴নদীর বিস্তার 259.808 মিটার (প্রায়)
গ) লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্নয় কর।
সমাধানঃ
△ABD থেকে পাই,
AD^2 = AB^2 + BD^2
বা, AD^2 = (150 × \sqrt{3})^2 + 10²
বা, AD^2 = 67500 + 100
বা, AD^2 = 67600
বা, AD = \sqrt{67600}
বা, AD = 260
∴লোকটির যাত্রা স্থান থেকে অবতরনের স্থানের দূরত্ব 260 মিটার।
২০. 16 মিটার দীর্ঘ্য একটি মই লম্বভাবে দণ্ডায়মান একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে রাখা হলো। ফলে এটি ভূমির সাথে 60° কোণ উৎপন্ন করল।
ক) উদ্দীপক অনুসারে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্র অঙ্কন কর।
সমাধানঃ
মনে করি, দেওয়ালের উচ্চতা AB=h মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য AC=16 মিটার এবং মইটি ভূমির সাথে ∠ACB=60° কোণ উৎপন্ন করে।
খ) দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
এখন, △ABC এ
sin∠ACB = \frac{AB}{AC}
বা, sin60° = \frac{h}{16}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{16}
বা, 2h = 16 × \sqrt{3}
বা, h = \frac{16 × \sqrt{3}}{2}
বা, h = 8\sqrt{3} =13.86 (প্রায়)
∴দেওয়ালের উচ্চতা = 13.86 মিটার (প্রায়)
গ) দেওয়ালের সাথে ঠেস দিয়ে রাখা অবস্থায় মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর আর কতদূর সরালে মইটি ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করবে?
সমাধানঃ
খ হতে পাই, AB = 8\sqrt{3} মিটার
মনে করি, মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে x মিটার ভূমি বরাবর সরানো হয়।
এখন, AC = DE = 16 মিটার এবং BE = BC + x
এখানে,
BC^2 + AB^2 = AC^2
বা, BC^2 = AC^2 – AB^2
বা, BC^2 = (16)^2 - (8\sqrt{3})^2
বা, BC^2 = 64
বা, BC = 8
∴BE = 8 + x
অতএব,
cos30° = \frac{8 + x}{16}
বা, \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8 + x}{16}
বা, 16 + 2x = 16 . \sqrt{3}
বা, 2x = 16 . \sqrt{3} – 16
বা, x = \frac{16 . \sqrt{3} – 16}{2}
বা, x = 5.86
∴মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর আরও 5.86 মিটার সরালে মইটি ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করবে।
২১. চিত্রে,CD=96 মিটার
ক) ∠CAD এর ডিগ্রি পরিমাপ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
চিত্র অনুসারে,
∠BCA + ∠ACD = 180°
বা, ∠ACD = 180° – ∠BCA
বা, ∠ACD = 180° – 60° [চিত্রে, ∠BCA = 60°]
বা, ∠ACD = 120°…………………(i)
△ACD এ
∠ACD + ∠CDA + ∠CAD = 180°
বা, ∠CAD = 180° – ∠ACD – ∠CDA
বা, ∠CAD = 180° – 120° – 30° [(i) নং থেকে মান বসিয়ে ও চিত্র থেকে ∠CDA = 30° বসিয়ে]
বা, ∠CAD = 30°
খ) BC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, AB = h মিটার এবং এর উন্নতি ∠ACB = 60°। C বিন্দু থেকে CD = 96 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ ∠ADB = 30°.
ধরি, BC = x মিটার।
∴B = BC + CD = (x + 96) মিটার।
এখন, △ABC এ
tan∠ACB = \frac{AB}{BC}
বা, tan60°= \frac{h}{x}
বা, \sqrt{3} = \frac{h}{x}
বা, x = \frac{h}{\sqrt{3}} —————– (i)
আবার, △ABD এ
tan∠ADB = \frac{AB}{BD}
বা, tan30° = \frac{h}{x + 96}
বা, \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 96}
বা, \sqrt{3}h = x + 96
বা, \sqrt{3}h – x = 96
বা, \sqrt{3}h – \frac{h}{\sqrt{3}} = 96
বা, \frac{3h – h}{\sqrt{3}} = 96
বা, 2h = 96. \sqrt{3}
বা, h = \frac{96. \sqrt{3}}{2}
বা, h = 48. \sqrt{3}
(i) নং সমীকরণে h এর মান বসিয়ে পাই,
x = \frac{48. \sqrt{3}}.{\sqrt{3}}
বা, x = 48
∴ BC এর দৈর্ঘ্য = 48 মিটার।
গ) △ACD এর পরিসীমা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
খ হতে পাই,
AB = h = 48\sqrt{3} মিটার এবং BC = 48 মিটার
BD = BC + CD = 48 + 96 = 144 মিটার
△ABC এ
AC^2 = AB^2+BC^2
বা, AC^2 = (48\sqrt{3})^2 + (48)^2
বা, AC^2 = 6912 + 2304
বা, AC^2 = 9216
বা, AC = 96…………(i)
আবার,
△ABD এ
AD^2 = AB^2 + BD^2
বা, AD^2 = (48\sqrt{3})^2 + (144)^2
বা, AD^2 = 6912 + 20736
বা, AD^2 = 27648
বা, AD = 166.28……….(ii)
∴△ACD এর পরিসীমা = AC + CD + AD = 96 + 96 + 166.28 = 358.28 মিটার (প্রায়)
