ষষ্ঠ শ্রেণি গণিত – Class 6 Math: অনুশীলনী ২.১ সমাধান
প্রশ্ন ১। নিচের সংখ্যাদ্বয়ের প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয় রাশিকে অনুপাতে প্রকাশ কর :
(ক) ২৫ ও ৩৫
সমাধান : এখানে, ১ম রাশি = ২৫, ২য় রাশি = ৩৫
⸫ ১ম রাশি : ২য় রাশি = ২৫ : ৩৫
= ৫ : ৭ [উভয় রাশিকে ৫ দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় অনুপাত ৫ : ৭।
(খ) ৭\frac{১}{৩} ও ৯\frac{২}{৫}
সমাধান : এখানে, ১ম রাশি = ৭\frac{১}{৩} বা \frac{২২}{৩}, ২য় রাশি = ৯\frac{২}{৫} বা \frac{৪৭}{৫}
⸫ ১ম রাশি : ২য় রাশি = \frac{২২}{৩} : \frac{৪৭}{৫}
= \frac{২২}{৩} ÷ \frac{৪৭}{৫}
= \frac{২২}{৩} × \frac{৫}{৪৭}
= \frac{১১০}{১৪১}
নির্ণেয় অনুপাত \frac{১১০}{১৪১} ।
(গ) ১ বছর ২ মাস ও ৭ মাস
সমাধান : ১ম রাশি = ১ বছর ২ মাস
= ১২ মাস + ২ মাস [⸪ ১ বছর = ১২ মাস]
= ১৪ মাস
২য় রাশি = ৭ মাস
⸫ ১ম রাশি : ২য় রাশি = ১৪ : ৭
= ২ : ১ [ উভয় রাশিকে ৭ দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় অনুপাত ২ : ১।
(ঘ) ৭ কেজি ও ২ কেজি ৩০০ গ্রাম
সমাধান : আমরা জানি, ১ কেজি = ১০০ গ্রাম।
১ম রাশি = ৭ কেজি
= (৭ × ১০০০) গ্রাম = ৭০০০ গ্রাম
২য় রাশি = ২ কেজি ৩০০ গ্রাম
= (২ × ১০০০) গ্রাম + ৩০০ গ্রাম
= ২০০০ গ্রাম + ৩০০ গ্রাম = ২৩০০ গ্রাম
⸫ ১ম রাশি : ২য় রাশি = ৭০০০ : ২৩০০
= ৭০ : ২৩ [উভয় রাশিকে ১০০ দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় অনুপাত ৭০ : ২৩।
(ঙ) ২ টাকা ও ৪০ পয়সা
সমাধান : আমরা জানি, ১ টাকা = ১০০ পয়সা।
১ম রাশি = ২ টাকা
= (২ × ১০০) পয়সা = ২০০ পয়সা
২য় রাশি = ৪০ পয়সা
⸫ ১ম রাশি : ২য় রাশি = ২০০ : ৪০
= ৫ : ১ [ উভয় রাশিকে ৪০ দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় অনুপাত ৫ : ১।
প্রশ্ন ২। নিচের অনুপাতগুলোকে সরলীকরণ কর :
(ক) ৯ : ১২
সমাধান : প্রদত্ত অনুপাত = ৯ : ১২
= ৩ : ৪ [উভয় রাশিকে ৩ দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় সরল অনুপাত ৩ : ৪।
(খ) ১৫ : ২১
সমাধান : প্রদত্ত অনুপাত = ১৫ : ২১
= ৫ : ৭ [ উভয় রাশিকে ৩ দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় সরল অনুপাত ৫ : ৭।
(গ) ৪৫ : ৩৬
সমাধান : প্রদত্ত অনুপাত = ৪৫ : ৩৬
= ৫ : ৪ [ উভয় রাশিকে ৯ দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় সরল অনুপাত ৫ : ৪।
(ঘ) ৬৫ : ২৬
সমাধান : প্রদত্ত অনুপাত = ৬৫ : ২৬
= ৫ : ২ [ উভয় রাশিকে ১৩ দ্বারা ভাগ করে]
নির্ণেয় সরল অনুপাত ৫ : ২।
প্রশ্ন ৩। নিচের সমতুল অনুপাতগুলোর খালিঘর পূরণ কর :
(ক) \frac২৩ : \frac৮□
সমাধান : \frac২৩ ÷ \frac৮□
বা, \frac২৩ ÷ \frac৮□
বা, ২ × □ = ৮ × ৩ [ আড় গুণন করে]
বা, □ = \frac{৮×৩}২
⸫ □ = ১২
উত্তর : ২ : ৩ = ৮ : ১২
(খ) ৫ : ৬ = □ : ৩৬
সমাধান : ৫ : ৬ = □ : ৩৬
বা, \frac৫৬ = □ ÷ ৩৬
বা, ৬ × □ = ৫ × ৩৬ [ আড় গুণন করে]
বা, □ = \frac{৫ × ৩৬}৬
⸫ □ = ৩০
উত্তর : ৫ : ৬ = ৩০ : ৩৬
(গ) ৭ : □ = ৪২ : ৫৪
সমাধান : ৭ : □ = ৪২ : ৫৪
বা, \frac৭□ = \frac{৪২}{৫৪}
বা, ৪২ × □ = ৭ × ৫৪ [ আড় গুণন করে]
বা, □ = \frac{৭ × ৫৪}{৪২}
⸫ □ = ৯
উত্তর : ৭ : ৯ = ৪২ : ৫৪
(ঘ) □ : ৯ = ৬৩ : ৮১
সমাধান : □ : ৯ = ৬৩ : ৮১
বা, \frac□৯ = \frac{৬৩}{৮১}
বা, ৮১ × □ = ৯ × ৬৩ [ আড় গুণন করে]
বা, □ = \frac{৯ ×৬৩}{৮১}
⸫ □ = ৭
উত্তর : ৭ : ৯ = ৬৩ : ৮১
প্রশ্ন ৪। একটি হলঘরের প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যরে অনুপাত ২ : ৫। প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যরে সম্ভাব্য মান বসিয়ে সারণিটি পূরণ কর :
| হলঘরের প্রস্থ (মি:) | ১০ | ৪০ | ১৬০ | ||
| হলঘরের দৈর্ঘ্য (মি:) | ২৫ | ৫০ | ২০০ |
সমাধান :
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যরে অনুপাত = ২ : ৫
২য় অংশে দৈর্ঘ্য = ৫০
⸫ ২য় অংশে প্রস্থ = ২ × ১০ = ২০ [ ⸪ ৫০ ÷ ৫ = ১০]
৩য় অংশে প্রস্থ = ৪০
⸫ ৩য় অংশে দৈর্ঘ্য = ৫ × ২০ [⸪ ৪০ ÷ ২ = ২০]
= ১০০
৪র্থ অংশে দৈর্ঘ্য = ২০০
⸫ ৪র্থ অংশে প্রস্থ = ২ × ৪০ [⸪ ২০০ ÷ ৫ = ৪০]
= ৮০
৫ম অংশে প্রস্থ = ১৬০
⸫ ৫ম অংশে দৈর্ঘ্য = ৫ × ৮০ [⸪ ১৬০ ÷ ২ = ৮০]
= ৪০০
এখন প্রাপ্ত মানগুলো বসিয়ে সারণিটি পূরণ করি :
| হলঘরের প্রস্থ (মি:) | ১০ | ২০ | ৪০ | ৮০ | ১৬০ |
| হলঘরের দৈর্ঘ্য (মি:) | ২৫ | ৫০ | ১০০ | ২০০ | ৪০০ |
প্রশ্ন ৫। নিচের সমতুল অনুপাতগুলোকে চিহ্নিত কর :
১২ : ১৮; ৬ : ১৮; ১৫ : ১০; ৩ : ২; ৬ : ৯; ২ : ৩; ১ : ৩; ২ : ৬; ১২ : ৮
সমাধান : ১২ : ১৮
= ৬ : ৯ [উভয় রাশিকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
= ২ : ৩ [উভয় রাশিকে ৩ দ্বারা ভাগ করে]
⸫ ১২ : ১৮ ; ৬ : ৯; ২ : ৩ সমতুল অনুপাত।
৬ : ১৮
= ২ : ৬ [উভয় রাশিকে ৩ দ্বারা ভাগ করে]
= ১ : ৩ [উভয় রাশিকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
⸫ ৬ : ১৮; ২ : ৬ ; ১ : ৩ সমতুল অনুপাত।
১৫ : ১০
= ৩ : ২ [উভয় রাশিকে ৫ দ্বারা ভাগ করে]
= ১২ : ৮ [উভয় রাশিকে ৪ দ্বারা গুণ করে]
⸫ ১৫ : ১০; ৩ : ২; ১২ : ৮ সমতুল অনুপাত।
উত্তর : ১২ : ১৮; ৬ : ৯; ২ : ৩ সমতুল অনুপাত,
৬ : ১৮; ২ : ৬; ১ : ৩ সমতুল অনুপাত,
১৫ : ১০; ৩ : ২; ১২ : ৮ সমতুল অনুপাত।
প্রশ্ন ৬। নিচের সরল অনুপাতগুলোকে মিশ্র অনুপাতে প্রকাশ কর :
(ক) ৩ : ৫, ৫ : ৭ ও ৭ : ৯
সমাধান : অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = ৩ × ৫ × ৭ = ১০৫
এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = ৫ × ৭ × ৯ = ৩১৫
নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = ১০৫ : ৩১৫
= ১ : ৩ [উভয় রাশিকে ১০৫ দ্বারা ভাগ করে]
(খ) ৫ : ৩ ; ৭ : ৫ ও ৯ : ৭
সমাধান : অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = ৫ × ৭ × ৯ = ৩১৫
এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = ৩ × ৫ × ৭ = ১০৫
নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = ৩১৫ : ১০৫
= ৩ : ১ [উভয় রাশিকে ১০৫ দ্বারা ভাগ করে]
প্রশ্ন ৭। ৯ : ১৬ অনুপাতটিকে ব্যস্ত অনুপাতে প্রকাশ কর।
সমাধান : সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি এবং উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতটি হবে ব্যস্ত অনুপাত।
⸫ ৯ : ১৬ এর ব্যস্ত অনুপাত ১৬ : ৯
প্রশ্ন ৮। নিম্নের অনুপাতগুলোর কোনটি একক অনুপাত?
(ক) ১৬ : ১৩
সমাধান : এখানে, অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান নয়।
সুতরাং ১৬ : ১৩ একক অনুপাত নয়।
(খ) ১৩ : ১৭
সমাধান : এখানে, অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান নয়।
সুতরাং ১৩ : ১৭ একক অনুপাত নয়।
(গ) ২১ : ২১
সমাধান : এখানে, অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান।
সুতরাং ২১ : ২১ একক অনুপাত।
প্রশ্ন ৯। ৫৫০ টাকাকে ৫ : ৬ ও ৪ : ৭ অনুপাতে ভাগ কর ।
সমাধান : ১ম অনুপাত = ৫ : ৬
অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = ৫ + ৬ = ১১
১ম অংশ = ৫৫০ এর \frac{৫}{১১}
= ২৫০ টাকা
২য় অংশ = ৫৫০ এর \frac{৬}{১১} = ৩০০ টাকা
২য় অনুপাত = ৪ : ৭
অনুপাতটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = ৪ + ৭ = ১১
১ম অংশ = ৫৫০ এর \frac{৪}{১১} = ২০০ টাকা
২য় অংশ = ৫৫০ এর \frac{৭}{১১} = ৩৫০ টাকা
উত্তর : ভাগকৃত টাকার পরিমাণ ২৫০ টাকা ও ৩০০ টাকা এবং ২০০ টাকা ও ৩৫০ টাকা।
প্রশ্ন ১০। পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৪ : ৩। পিতার বয়স ৫৬ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?
সমাধান : পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = ১৪ : ৩
অর্থাৎ পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ১৪৩ গুণ
দেওয়া আছে, পিতার বয়স ৫৬ বছর।
⸫ ৫৬ বছর = পুত্রের বয়স × \frac{১৪}{৩}
বা, পুত্রের বয়স × \frac{১৪}{৩} = ৫৬ বছর
বা, পুত্রের বয়স = \frac{৫৬ × ৩}{১৪} বছর
= ১২ বছর।
উত্তর : পুত্রের বয়স ১২ বছর।
প্রশ্ন ১১। দুইটি সংখ্যার যোগফল ৬৩০। এদের অনুপাত ১০ : ১১ হলে, সংখ্যা দুইটি নির্ণয় কর।
সমাধান : প্রদত্ত অনুপাত ১০ : ১১
অনুপাত দুইটির পূর্ব ও উত্তর রাশির যোগফল = ১০ + ১১ = ২১
⸫ ১ম সংখ্যা = ৬৩০ এর \frac{১০}{২১} = ৩০০
⸫ ২য় সংখ্যা = ৬৩০ এর \frac{১১}{২১} = ৩৩০
উত্তর : সংখ্যা দুইটি ৩০০ ও ৩৩০।
প্রশ্ন ১২। দুইটি বইয়ের মূল্যের অনুপাত ৫ : ৭। দ্বিতীয়টির মূল্য ৮৪ টাকা হলে, প্রথমটির মূল্য কত?
সমাধান : দুইটি বইয়ের মূল্যের অনুপাত ৫ : ৭
প্রথম বইয়ের মূল্য দ্বিতীয় বইয়ের মূল্যের ৫৭ গুণ
দেওয়া আছে, দ্বিতীয় বইয়ের মূল্য ৮৪ টাকা
⸫ প্রথম বইয়ের মূল্য = \frac{৫}{৭} × দ্বিতীয় বইয়ের মূল্য টাকা
= \frac{৫}{৭} × ৮৪ টাকা
= ৬০ টাকা
উত্তর : প্রথম বইয়ের মূল্য ৬০ টাকা।
প্রশ্ন ১৩। ১৮ ক্যারেটের ২০ গ্রাম ওজনের সোনার গহনায় সোনা ও খাদের অনুপাত ৩ : ১ হলে, ঐ গহনায় সোনা ও খাদের পরিমাণ নির্ণয় কর।
সমাধান : সোনা ও খাদের অনুপাত = ৩ : ১
অনুপাতের রাশি দুইটির যোগফল = ৩ + ১ = ৪
∴ গহনায় সোনার পরিমাণ = ২০ গ্রাম এর \frac{৩}{৪} অংশ
= ২০ × \frac{৩}{৪} গ্রাম
= ১৫ গ্রাম
∴ গহনায় খাদের পরিমাণ = ২০ গ্রাম এর \frac{১}{৪} অংশ
= ২০ × \frac{১}{৪} গ্রাম
= ৫ গ্রাম
উত্তর : ঐ গহনায় সোনার পরিমাণ ১৫ গ্রাম এবং খাদের পরিমাণ ৫ গ্রাম।
প্রশ্ন ১৪। দুই বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলে আসা যাওয়ার সময়ের অনুপাত ২ : ৩। ১ম বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব ৫ কি.মি. হলে, দ্বিতীয় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব কত?
সমাধান : দুই বন্ধুর স্কুলে আসা যাওয়ার সময়ের অনুপাত ২ : ৩।
২য় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব = ১ম বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্বের ৩২ গুণ
দেওয়া আছে, ১ম বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব ৫ কি.মি.।
২য় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব
= ৫ কি.মি এর \frac{৩}{২} অংশ
= ৫ × \frac{৩}{২} কি.মি.
= \frac{১৫}{২} কি.মি.
= ৭\frac{১}{২} কি.মি.
উত্তর : ২য় বন্ধুর বাড়ি হতে স্কুলের দূরত্ব ৭\frac{১}{২} কি.মি.।
প্রশ্ন ১৫। পায়েসে দুধ ও চিনির অনুপাত ৭ : ২। ঐ পায়েসে চিনির পরিমাণ ৪ কেজি হলে, দুধের পরিমাণ কত?
সমাধান : দেওয়া আছে, পায়েসে দুধ ও চিনির অনুপাত ৭ : ২
অর্থাৎ, দুধের পরিমাণ চিনির পরিমাণের \frac{৭}{২} গুণ
দেওয়া আছে, চিনির পরিমাণ ৪ কেজি।
⸫ দুধের পরিমাণ = ৪ × \frac{৭}{২} কেজি
= ১৪ কেজি
উত্তর : পায়েসে দুধের পরিমাণ ১৪ কেজি।
প্রশ্ন ১৬। দুইটি কম্পিউটারের দামের অনুপাত ৫ : ৬। প্রথমটির দাম ২৫০০০ টাকা হলে, দ্বিতীয়টির দাম কত? মূল্য বৃদ্ধির ফলে যদি প্রথমটির দাম ৫০০০ টাকা বেড়ে যায়, তখন তাদের দামের অনুপাতটি কী ধরনের অনুপাত?
সমাধান : দুইটি কম্পিউটারের দামের অনুপাত ৫ : ৬
অর্থাৎ, দ্বিতীয়টির দাম, প্রথমটির দামের \frac{৬}{৫} গুণ
দেওয়া আছে, প্রথমটির দাম ২৫০০০ টাকা
⸫ দ্বিতীয়টির দাম = ২৫০০০ টাকার \frac{৬}{৫} অংশ
= ২৫০০০ এর \frac{৬}{৫} টাকা
= ৩০০০০ টাকা
মূল্য বৃদ্ধির ফলে প্রথমটির দাম = (২৫০০০ + ৫০০০) টাকা
= ৩০০০০ টাকা
এখন, তাদের দামের অনুপাত = ৩০০০০ : ৩০০০০
= ১ : ১ [ উভয় রাশিকে ৩০০০০ দ্বারা ভাগ করে ]
এটি একটি একক অনুপাত।
উত্তর : দ্বিতীয় কম্পিউটারের দাম ৩০০০০ টাকা, মূল্য বৃদ্ধির ফলে উভয় কম্পিউটারের দামের অনুপাত ১ : ১ একটি একক অনুপাত।
অনুশীলনী ২.১ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন ও সমাধান
