৮ম শ্রেণি গণিত Class eight math অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন
৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান,৮ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান,অষ্টম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ৪.১ সৃজনশীল সমাধান,৮ম শ্রেণির গণিত অধ্যায় ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন,৮ম শ্রেণি গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন অধ্যায় ৪.১,অষ্টম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর,
Class 8 Math Chapter 4.1 Creative Questions and Solutions,Class Eight Math Exercise 4.1 Creative Question Answers,8th Grade Math Chapter 4 Exercise 4.1 Creative Problem Solving,Class 8 Mathematics Exercise 4.1 Creative Solution Guide,Class 8 Math Chapter 4.1 Creative Questions with Solutions
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১
\[ x – \frac{1}{x} = 3, a + \frac{1}{a} = 4 হলে \]
ক. \[ x + \frac{1}{x} \] এর মান কত?
খ. \[ a^4 + \frac{1}{a^4} \] এর মান নির্ণয় কর।
গ. \[ a^2 – 1 = am \] হলে দেখাও যে, \[ a^4 + \frac{1}{a^4} = m^4 + 4m^2 + 2 \]
সমাধান -১
ক. দেওয়া আছে, \[ x – \frac{1}{x} = 3 \]
বা, \[ \left( x – \frac{1}{x} \right)^2 = 3^2 \]
বা, \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 – 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 9 \]
বা, \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 – 4 = 9 \]
বা, \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 9 + 4 \]
বা, \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 13 \]
∴ \[ x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{13} \]
উত্তরঃ \[ \pm \sqrt{13} \]
\[ x – \frac{1}{x} = 4 \] এবং \[ m + \frac{1}{m} = 3; m > 0 \].
সৃজনশীল প্রশ্ন – 2
ক. \[ x^2 + \frac{1}{x^2} \] এর মান নির্ণয় কর।
খ. প্রমাণ কর যে, \[ m = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2} \]
গ. \[ m + \frac{1}{m} = 4 \] হলে এর মান বের কর।
সমাধান -২
ক. দেওয়া আছে, \[ x – \frac{1}{x} = 4 \]
প্রদত্ত রাশি = \[ x^2 + \frac{1}{x^2} \]
= \[ \left( x – \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \]
= \[ (4)^2 + 2 \]
= \[ 16 + 2 \]
= \[ 18 \]
খ. দেওয়া আছে, \[ m + \frac{1}{m} = 3 \ldots \ldots (1) \]
আমরা জানি,
\[ \left( m – \frac{1}{m} \right)^2 = \left( m + \frac{1}{m} \right)^2 – 4 \cdot m \cdot \frac{1}{m} \]
= \[ (3)^2 – 4 \]
= \[ 9 – 4 \]
= \[ 5 \]
∴ \[ m – \frac{1}{m} = \sqrt{5} \ldots \ldots \ldots (1) [\because m > 0] \]
সমীকরণ (1) এবং (1.1) যোগ করে পাই,
\[ m + \frac{1}{m} + m – \frac{1}{m} = 2 + \sqrt{5} \]
বা, \[ 2m = 2 + \sqrt{5} \]
বা, \[ m = \frac{2 + \sqrt{5}}{2} \]
∴ \[ m = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2} \] [Proved]
সৃজনশীল প্রশ্ন – 3
\[ x + \frac{1}{x} = 2 \] এবং \[ x – \frac{1}{x} = 1 \]
ক. \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 \] এর মান কত? (2)
খ. দেখাও যে, \[ \frac{x}{x^2 + 3x – 1} = \frac{1}{4} \] (8)
গ. প্রমাণ কর যে, \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = x^4 + \frac{1}{x^4} \] (8)
সমাধান -৩
ক. দেওয়া আছে, \[ x + \frac{1}{x} = 2 \]
∴ \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (2)^2 \] [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
= 4 (Ans.)
খ. দেওয়া আছে, \[ x – \frac{1}{x} = 1 \]
বা, \[ x^2 – \frac{1}{x} = 1 \]
∴ \[ x^2 – 1 = x \]
বামপক্ষ = \[ \frac{x}{x^2 + 3x – 1} = \frac{x}{x^2 – 1 + 3x} \]
= \[ \frac{x}{x + 3x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} \] (দেখানো হলো)
গ. বামপক্ষ = \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = (x)^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2 \]
= \[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2.x \cdot \frac{1}{x} \]
= \[ (2)^2 – 2 \] ∵ \[ x + \frac{1}{x} = 2 \] দেওয়া আছে।
= \[ 4 – 2 = 2 \]
ডানপক্ষ = \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 \]
= \[ \left((x + \frac{1}{x})^2 – 2\right)^2 – 2.x^2 \cdot \frac{1}{x^2} \]
= \[ ((2)^2 – 2)^2 – 2 \] = \[ (4 – 2)^2 – 2 \]
= \[ (2)^2 – 2 = 4 – 2 = 2 \]
অর্থাৎ \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = x^4 + \frac{1}{x^4} \] (প্রমাণিত)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ৪
\[ p^2 – 5p = 1 \] হলে—
ক. \[ p – \frac{1}{p} \] এর মান কত? (2)
খ. \[ p^2 + \frac{1}{p^2} \] এর মান কত? (8)
গ. প্রমাণ কর যে, \[ p^4 + \frac{1}{p^4} = 727 \] (8)
সমাধান -৪
ক. দেওয়া আছে, \[ p^2 – 5p = 1 \]
বা, \[ p^2 – 1 = 5p \] [পক্ষান্তর করে]
বা, \[ p^2 – 1 = 5p \] [উভয়পক্ষকে \[ p \] দ্বারা ভাগ করে]
∴ \[ p – \frac{1}{p} = 5 \] (Ans.)
খ. \[ p^2 + \frac{1}{p^2} = \left( p – \frac{1}{p} \right)^2 + 2.p \cdot \frac{1}{p} \]
= \[ (5)^2 + 2 \] [∵ ‘ক’ থেকে \[ p – \frac{1}{p} = 5 \]]
∴ \[ p^2 + \frac{1}{p^2} = 27 \] (Ans.)
গ. বামপক্ষ = \[ p^4 + \frac{1}{p^4} \]
= \[ (p^2)^2 + \left(\frac{1}{p^2}\right)^2 \]
= \[ \left( p^2 + \frac{1}{p^2} \right)^2 – 2.p^2 \cdot \frac{1}{p^2} \]
= \[ (5)^2 + 2.p \left( \frac{1}{p} \right)^2 \]
= \[ (25 + 2)^2 = 27 \]
অতএব, \[ p^4 + \frac{1}{p^4} = 727 \] (প্রমাণিত)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ৫
\[ x^2 – 3x + 1 = 0 \] হলে—
ক. \[ x + \frac{1}{x} \] = কত? (2)
খ. \[ x^4 + \frac{1}{x^4} \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. দেখাও যে, \[ \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \left( a^8 + \frac{1}{a^8} \right) = 15449 \] (8)
সমাধান -৫
ক. দেওয়া আছে, \[ x^2 – 3x + 1 = 0 \]
বা, \[ x^2 + 1 = 3x \]
বা, \[ x^2 + 1 = \frac{3x}{x} \]
বা, \[ x^2 + \frac{1}{x} = 3 \]
∴ \[ x + \frac{1}{x} = 3 \] (Ans.)
খ. \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 \]
= \[ (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 – 2.x^2 \cdot \frac{1}{x^2} \]
= \[ (9 – 2)^2 – 2 \] [∵ ‘ক’ হতে, \[ x + \frac{1}{x} = 3 \]]
= \[ (7)^2 – 2 = 49 – 2 = 47 \]
∴ \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = 47 \] (Ans.)
গ. ‘ক’ থেকে পাই, \[ x + \frac{1}{x} = 3 \]
বা, \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (3)^2 \] [বর্গ করে]
বা, \[ x^2 + \frac{1}{x^2} + 2.x \cdot \frac{1}{x} = 9 \]
বা, \[ x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 9 \]
বা, \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 – 2 \]
∴ \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 \]
আবার, ‘খ’ থেকে পাই, \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = 47 \]
বা, \[ \left( x^4 + \frac{1}{x^4} \right)^2 = (47)^2 \]
বা, \[ (x^4)^2 + \left(\frac{1}{x^4}\right)^2 + 2.x^4 \cdot \frac{1}{x^4} = 2209 \]
বা, \[ x^8 + \frac{1}{x^8} + 2 = 2209 \]
বা, \[ x^8 + \frac{1}{x^8} = 2209 – 2 = 2207 \]
∴ \[ \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)\left( a^8 + \frac{1}{a^8} \right) = 15449 \] (দেখানো হলো)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ৬
\[ x^2 + 1 = 6x \]
ক. \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 \] এর মান কত? (2)
খ. \[ x^2 + \frac{1}{x^2} \] এবং \[ x^2 – \frac{1}{x^2} \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. \[ x^4 + \frac{1}{x^4} \] এর মান নির্ণয় কর এবং প্রাপ্ত মানকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (8)
সমাধান -৬
ক. দেওয়া আছে, \[ x^2 + 1 = 6x \]
বা, \[ \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = \frac{6x}{x} \]
বা, \[ x + \frac{1}{x} = 6 \]
বা, \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (6)^2 \]
∴ \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 36 \] (Ans.)
খ. \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2.x \cdot \frac{1}{x} \]
= \[ (6)^2 – 2 = 36 – 2 = 34 \] (Ans.)
গ. \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 – 2 \]
= \[ 34 \times 24 \times \sqrt{2} = 816 \times \sqrt{2} \]
= \[ 816 \times \sqrt{2} \] (Ans.)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ৭
a = 8x + y, b = 5x + y এবং c = 16x + 2y হলে—
ক. C কে A দ্বারা প্রকাশ কর:
(খ) \[ (a^2 + bc + b^2) \] নির্ণয় কর। (8)
(গ) প্রমাণ কর যে, \[ a^2 – bc + b^2 = 9x^2 \] (8)
সমাধান -৭
ক. দেওয়া আছে, \[ a = 8x + y \] এবং \[ c = 16x + 2y \]
∴ \[ c = 16x + 2y = 2(8x + y) = 2a = a^2 \]
খ. দেওয়া আছে, \[ a = 8x + y \]; \[ b = 5x + y \]; \[ c = 16x + 2y \]
∴ \[ a^2 + bc + b^2 = a^2 + b \times 2a + b^2 \] [∵ c = 2a]
= \[ a^2 + 2ab + b^2 \]
= \[ (a + b)^2 \]
= \[ (8x + y + 5x + y)^2 \] [মান বসিয়ে]
= \[ (13x + 2y)^2 \]
= \[ (13x)^2 + 2 \cdot 13x \cdot 2y + (2y)^2 \]
= \[ 169x^2 + 52xy + 4y^2 \] (Ans.)
গ. বামপক্ষ = \[ a^2 – bc + b^2 \]
= \[ a^2 – b \times 2a + b^2 \] [∵ c = 2a]
= \[ a^2 – 2ab + b^2 \]
= \[ (a – b)^2 \]
= \[ (8x + y – (5x + y))^2 \]
= \[ (8x + y – 5x – y)^2 \]
= \[ (3x)^2 = 9x^2 \] (প্রমাণিত)
৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান
সৃজনশীল প্রশ্ন – ৮
(i) \[ x + \frac{1}{x} = 5 \] এবং (ii) \[ x – \frac{1}{x} = 4 \]
ক. \[ x \] এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. \[ x^4 – \frac{1}{x^4} \] এর মান বের কর। (8)
গ. (i) এবং (ii) এর বামপক্ষকে বর্গের সাথে তাদের বামপক্ষ যুক্ত গুণফলের নিপুণ যোগ করে সমান কর। যখন \[ x = -3 \] (8)
সমাধান -৮
ক. দেওয়া আছে, \[ x + \frac{1}{x} = 5 \] ………… (i)
এবং \[ x – \frac{1}{x} = 4 \] ………… (ii)
সমীকরণ (i) এবং (ii) যোগ করে পাই,
\[ x + \frac{1}{x} = 5 \]
∴ \[ \frac{x – \frac{1}{x}}{2x} = 9 \]
খ. প্রদত্ত রাশি = \[ x^4 – \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 – \left(\frac{1}{x^2}\right)^2 \]
= \[ \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \left( x^2 – \frac{1}{x^2} \right) \]
= \[ \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \times 5 \times 4 = 20 \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \]
= \[ 20 \times (5^2 – 2) = 20 \times (25 – 2) = 20 \times 23 = 460 \] (Ans.)
গ. প্রমাণ
\[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 + \left( x – \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \left( x + \frac{1}{x} \right)\left( x – \frac{1}{x} \right) \]
ধরি, \[ x + \frac{1}{x} = a \] এবং \[ x – \frac{1}{x} = b \]
নির্দেশ রাশিমালা = \[ a^2 + b^2 + 2ab \]
= \[ (a + b)^2 \]
= \[ \left( x + \frac{1}{x} + x – \frac{1}{x} \right)^2 \] [a ও b এর মান বসিয়ে]
= \[ (2x)^2 = 4x^2 \]
= \[ 4(-3)^2 [যখন x = -3] \]
= \[ 4 \times 9 = 36 \] (Ans.)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ৯
\[ x^2 – y^2, 27a^3b^3 + 64b^3c^3 \] এবং \[ a – \frac{1}{3} \] তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. দ্বিতীয় রাশিকে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)
খ. প্রথম রাশিটির মান z হলে, প্রমাণ কর যে,
\[ x^6 – y^6 – z^6 = 3x^2y^2z^2 \] (8)
গ. \[ a – \frac{1}{a} = 5 \] হলে, \[ \left( a^3 – \frac{1}{a^3} \right) \] এবং \[ \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) \] এর মান কত? (8)
সমাধান -৯
ক. প্রদত্ত রাশি = \[ 27a^3b^3 + 64b^3c^3 \]
= \[ b^3(27a^3 + 64c^3) \]
= \[ b^3[(3a)^3 + (4c)^3] \]
= \[ b^3(3a + 4c)[(3a)^2 – 3a.4c + (4c)^2] \]
= \[ b^3(3a + 4c)(9a^2 – 12ac + 16c^2) \] (Ans.)
খ. ১ম রাশি = \[ x^2 – y^2 \]
∴ \[ x^2 – y^2 = z^2 \]
বামপক্ষ = \[ x^6 – y^6 – z^6 = (x^2)^3 – (y^2)^3 – z^6 \]
= \[ (x^2 – y^2) + 3x^2y^2(x^2 – y^2) – z^6 \]
= \[ (z^2) + 3x^2y^2(z^2) – z^6 \]
= \[ z^6 + 3x^2y^2z^2 – z^6 \] [প্রাপ্ত মান বসিয়ে]
= \[ 3x^2y^2z^2 \] = ডানপক্ষ
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
গ. এখানে, \[ a – \frac{1}{a} = 5 \]
এখন, \[ a^3 – \frac{1}{a^3} = (a – \frac{1}{a})^3 + 3.a \times \frac{1}{a} \]
= \[ 5^3 + 3.5 = 125 + 15 = 140 \]
আবার, \[ a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 – 2 \]
= \[ 5^2 + 2 = 25 + 2 = 27 \]
নির্ধারিত মান 140 এবং 27।
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১০
যদি \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 3 \], \[ \left( a^2 – \frac{1}{a^2} \right)^2 = 525 \] এবং \[ m^4 + \frac{1}{m^4} = p^4 + 4p^2 + 2 \] হয়,
ক. \[ x + \frac{1}{x} \] এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. প্রমাণ কর যে, \[ m – \frac{1}{m} = p \] (8)
গ. প্রমাণ কর যে, \[ a + \frac{1}{a} = 5 \] (8)
সমাধান -১০
ক. \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2.x \cdot \frac{1}{x} \]
বা, \[ 3 = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 – 2; [প্রাপ্ত মান অনুযায়ী] \]
বা, \[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 5 \]
∴ \[ x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} \]
খ. দেওয়া আছে, \[ m^4 + \frac{1}{m^4} = p^4 + 4p^2 + 2 \]
বা, \[ (m^2)^2 + \left( \frac{1}{m^2} \right)^2 = (p^2)^2 + 2 \cdot p^2 \cdot 2 + 2^2 – 2 \]
বা, \[ \left( m^2 + \frac{1}{m^2} \right)^2 – 2m^2 \cdot \frac{1}{m^2} = (p^2 + 2)^2 – 2 \]
বা, \[ \left( m^2 + \frac{1}{m^2} \right)^2 = (p^2 + 2)^2 \]
বা, \[ m^2 + \frac{1}{m^2} = p^2 + 2 \]
বা, \[ \left( m – \frac{1}{m} \right)^2 + 2m \cdot \frac{1}{m} = p^2 + 2 \]
বা, \[ \left( m – \frac{1}{m} \right)^2 + 2 = p^2 + 2 \]
বা, \[ \left( m – \frac{1}{m} \right)^2 = p^2 \]
∴ \[ m – \frac{1}{m} = p \] (প্রমাণিত)
গ. দেওয়া আছে, \[ \left( a^2 – \frac{1}{a^2} \right)^2 = 525 \]
বা, \[ a^2 + \frac{1}{a^2} – 4 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} = 525 \]
বা, \[ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 – 2 = 525 + 4 \]
বা, \[ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 = 529 \]
বা, \[ \sqrt{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2} = \sqrt{529}; [বর্গমূল করে] \]
বা, \[ a + \frac{1}{a} – 2 = 23 \]
বা, \[ a + \frac{1}{a} = 25 \]
∴ \[ a + \frac{1}{a} = 5 \] (প্রমাণিত)
৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১১
\[ a^2 – b^2, a^3 – b^3 \] এবং \[ a^4 + a^2b^2 + b^4 \] তিনটি বীজগণিতীয় রাশি
ক. প্রথম রাশিটির বর্গ নির্ণয় কর। (2)
খ. যদি প্রথম রাশির মান \[ c^2 \] হয় তবে, প্রমাণ কর যে, \[ a^6 – b^6 – 3a^2b^2c^2 = c^6 \] (8)
গ. রাশি তিনটির ল.সা.গু. নির্ণয় কর। (4)
সমাধান -১১
ক. ১ম রাশি = \[ a^2 – b^2 \]
∴ \[ a^2 – b^2 \] এর বর্গ = \[ (a^2 – b^2)^2 \]
= \[ (a^2)^2 – 2.a^2.b^2 + (b^2)^2 \]
= \[ a^4 – 2a^2b^2 + b^4 \] (Ans.)
খ. দেওয়া আছে, \[ a^2 – b^2 = c^2 \]
বামপক্ষ = \[ a^6 – b^6 – 3a^2b^2c^2 \]
= \[ (a^2)^3 – (b^2)^3 – 3a^2b^2c^2 \]
= \[ a^6 – b^6 – 3a^2b^2c^2 \]
= \[ (c^2)^3 + 3a^2.b^2.c^2 – 3a^2b^2c^2 \] [∵ a^2 – b^2 = c^2]
= \[ c^6 + 3a^2b^2c^2 – 3a^2b^2c^2 = c^6 \]
∴ \[ a^6 – b^6 – 3a^2b^2c^2 = c^6 \] (প্রমাণিত)
গ. ১ম রাশি = \[ a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) \]
২য় রাশি = \[ a^3 – b^3 \]
= \[ (a – b)(a^2 + ab + b^2) \]
৩য় রাশি = \[ a^4 + a^2b^2 + b^4 \]
= \[ (a^2)^2 + 2.a^2.b^2 + (b^2)^2 – a^2b^2 \]
= \[ (a^2 + ab)(a^2 – ab) \]
∴ নির্ণীত ল.সা.গু. = \[ (a + b)(a – b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2) = a^6 – b^6 \] (Ans.)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১২
\[ x + y = 11 \] এবং \[ x – y = 5 \] হলে—
ক. \[ x^2 – y^2 = ? \] (2)
খ. \[ x^4 – y^4 \] এর মান কত? (8)
গ. দেখাও যে, \[ xy + 31 = x^2 – y^2 \] (8)
সমাধান -১২
ক. দেওয়া আছে, \[ x + y = 11 \] এবং \[ x – y = 5 \]
\[ x^2 – y^2 = (x + y)(x – y) \] [∵ a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)]
= \[ 11 \times 5 \] [মান বসিয়ে]
= 55
∴ \[ x^2 – y^2 = 55 \] (Ans.)
খ. \[ x^4 – y^4 = (x^2)^2 – (y^2)^2 \]
= \[ (x^2 + y^2)(x^2 – y^2) \]
= \[ (x^2 + y^2) \times 55 \] [∵ ‘ক’ থেকে, \[ x^2 – y^2 = 55 \]]
= \[ 55(x^2 + y^2) \]
(গ):
\[ x^4 – y^4 = (x^2)^2 – (y^2)^2 \]
= \[ (x^2 + y^2)(x^2 – y^2) \]
= \[ (x^2 + y^2) \times 55 \] [∵ ‘ক’ হতে, \[ x^2 – y^2 = 55 \]]
= \[ 55 (x^2 + y^2) \]
= \[ 55 \times \frac{1}{2} \times 2 (x^2 + y^2) = 55 \times \frac{1}{2} \{(x + y)^2 + (x – y)^2\} \]
= \[ 55 \times \frac{1}{2} \{(11)^2 + (5)^2\} \] [মান বসিয়ে]
= \[ 55 \times \frac{1}{2} (121 + 25) = 55 \times \frac{1}{2} \times 146 \]
= \[ 55 \times 73 = 4015 \] (Ans.)
গ. আমরা জানি, \[ ab = \frac{(a + b)(a – b)}{4} \]
∴ \[ xy = \frac{(x + y)(x – y)}{2} \]
= \[ \frac{(11)(5)}{2} = \frac{121 – 25}{4} = 24 \]
∴ বামপক্ষ = \[ xy + 31 = 24 + 31 = 55 \]
আবার, ডানপক্ষ, \[ x^2 – y^2 = 55 \] [∵ ‘ক’ হতে]
∴ \[ xy + 31 = x^2 – y^2 \] (দেখানো হলো)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৩
\[ P = a^2 + b^2, Q = a^2 – b^2 \] এবং \[ R = a^4 + b^4 \] হলে—
ক. \[ P^2 \] নির্ণয় কর। (2)
খ. প্রমাণ কর যে, \[ PQR = a^8 – b^8 \] (8)
গ. দেখাও যে, \[ P^2 + Q^2 = 2R \] (8)
সমাধান -১৩
ক. দেওয়া আছে, \[ P = a^2 + b^2 \]
∴ \[ P^2 = (a^2 + b^2)^2 \] [উত্তাপক্ষকে বর্গ করে]
= \[ (a^2)^2 + 2a^2.b^2 + (b^2)^2 \]
= \[ a^4 + 2a^2b^2 + b^4 \] (Ans.)
খ. দেওয়া আছে, \[ P = a^2 + b^2, Q = a^2 – b^2, R = a^4 + b^4 \]
বামপক্ষ = \[ PQR \]
= \[ (a^2 + b^2)(a^2 – b^2)(a^4 + b^4) \] [মান বসিয়ে]
= \[ \{(a^2 + b^2)(a^2 – b^2)\} \times (a^4 + b^4) \]
= \[ (a^4 – b^4) \times (a^4 + b^4) = a^8 – b^8 \] [∵ (a + b)(a – b) = (a^2 – b^2)] (Ans.)
গ. বামপক্ষ = \[ P^2 + Q^2 \]
= \[ (P + Q)^2 – 2PQ \]
= \[ (a^2 + b^2 + a^2 – b^2)^2 – 2(a^2 + b^2)(a^2 – b^2) \] [মান বসিয়ে]
= \[ (2a^2)^2 – 2\{(a^2)^2 – (b^2)^2\} \]
= \[ 4a^4 – 2(a^4 – b^4) = 4a^4 – 2a^4 + 2b^4 \]
= \[ 2a^4 + 2b^4 = 2(a^4 + b^4) \] [∵ R = a^4 + b^4]
= \[ 2R \] (ডানপক্ষ)
∴ \[ P^2 + Q^2 = 2R \] (দেখানো হলো)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৪
\[ x + \frac{1}{x} = 4 \] হলে—
ক. \[ x^2 + \frac{1}{x^2} \] এর মান কত? (2)
খ. প্রমাণ কর যে, \[ x^4 + \frac{1}{x^4} = 194 \] (8)
গ. \[ x^4 – \frac{1}{x^4} \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
উত্তর: ক. \[ 14 \]; খ. \[ 112\sqrt{3} \]
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৫
\[ a = 4, b = 6 \] এবং \[ c = 3 \] হলে—
ক. \[ 4a^2b^2 – 16ab^2c + 16bc^2 \] এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. \[ (2a + 3b)^2 – 2(2a + 3b)(3b – a) + (3b – a)^2 \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. \[ (2a – 4b + 7c)^2 + 2(2a – 4b + 7c)(2a + 4b + 7c) – 2(2a – 4b + 7c)(2a + 4b + 7c) \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
উত্তর: ক. \[ 576 \]; খ. \[ 144 \]; গ. \[ 2304 \]
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৬
\[ m + n, m – n, 4m – 3n, 8m + 5n \] চারটি বীজগণিতীয় রাশি
ক. \[ m + n = 10, m – n = 8 \] হলে \[ m^2 + n^2 \] = কত? (2)
খ. তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির গুণফল নির্ণয় কর। (8)
গ. তৃতীয় ও চতুর্থ রাশিতে দুইটি বর্গের অন্তর্ভুক্ত প্রমাণ কর। (8)
উত্তর: ক. \[ 82 \]; খ. \[ 32m^2 – 4mn – 15n^2 \]; গ. \[ (6m + n)^2 – (2m + 4n)^2 \]
৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৭
\[ a + b = 3 \] এবং \[ a – b = 2 \] হলে—
ক. \[ ab \] এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. প্রমাণ কর যে, \[ 8ab(a^2 + b^2) = 65 \] (8)
গ. এই দুইটি বর্গের অন্তর্ভুক্ত প্রমাণ কর। (8)
উত্তর: ক. \[ \frac{5}{4} \]; খ. \[ 2^2 – 1^2 \]
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৮
একটি সংখ্যা (a) এবং এর গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার যোগফল 2।
ক. উদ্দীপকের সমীকরণ আকর্ষ প্রকাশ কর। (2)
খ. দেখাও যে, \[ a + \frac{1}{a^4} = 2 \] (8)
গ. প্রমাণ কর যে, \[ (a + \frac{1}{a})(a + \frac{1}{a^2})(a^4 + \frac{1}{a^4})(a^8 + \frac{1}{a^8}) = 16 \] (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৯
\[ a = 3xy + 2zx, b = 4x – 3y \text{ এবং } c = x – 5y + 2z \] তিনটি বীজগণিতীয় সমীকরণ।
ক. \[ C^2 \] এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. \[ (a + b)^2 \] এর মান সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর। (8)
গ. দেখাও যে, \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২০
\[ x^2 – \sqrt{2}x = 1 \] হলে—
ক. মান নির্ণয় কর: \[ x – \frac{1}{x} \] (2)
খ. দেখাও যে, \[ 7(x^2 + \frac{1}{2}) = 2(x^4 + \frac{1}{x^4}) \] (8)
গ. মান নির্ণয় কর: \[ \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \] (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২১
\[ 2(x + y)^2 – 3(x + y) – 2 \] একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. রাশিটিকে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)
খ. রাশিটিকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপ প্রকাশ কর। (8)
গ. \[ x = 2, y = 7 \] হলে প্রদত্ত রাশি ও বর্গের অন্তররূপে প্রকাশিত রাশির মান সমান, এর সত্যতা যাচাই কর। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২২
\[ (5x^2 – 3x – 2)^2 + (2 + 5x^2 – 3x)^2 + 2(5x^2 – 3x – 2)(2 + 5x^2 – 3x) \]
ক. \[ (5x^2 – 3x – 2) \] কে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)
খ. ‘ক’ অংশ হতে প্রাপ্ত রাশিধরের দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (8)
গ. উদ্দীপককে সরলাকারে প্রকাশ কর এবং \[ x = 2 \] এর জন্য সরলকৃত ফলাফলের মান নির্ণয় কর। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৩
\[ x + \frac{1}{x}, x^2 + \frac{1}{x^2}, x^4 + \frac{1}{x^4} \] তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. ১ম রাশির মান p হলে দ্বিতীয় রাশির মান কত? (2)
খ. p এর মাধ্যমে তৃতীয় রাশির মান বের কর। (8)
গ. \[ p = 4 \] হলে তৃতীয় রাশির মান কত? (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৪
\[ x + y = 8, xy = 15 \] হলে,
ক. \[ (x – y)^2 \] = কত? (2)
খ. \[ x^2 – y^2 \] এবং \[ x^2 + y^2 \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. \[ x^4 + y^4 \] = কত? (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৫
\[ a – \frac{1}{a} = 4 \] হলে,
ক. \[ a^2 + \frac{1}{a^2} \] কত? (2)
খ. প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে এর মান বের কর। (8)
গ. \[ a^4 – \frac{1}{a^4} \] কত? (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৬
\[ x – y = 1, xy = 6 \] এবং \[ x, y > 0 \] হলে,
ক. \[ x^2 + y^2 \] = কত? (2)
খ. \[ x^4 – y^4 \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. \[ (x^4 + y^4)(x^4 – y^4) \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৭
যদি \[ 4x^2 – 2x = -1 \] হয়, তাহলে
ক. \[ 2x + \frac{1}{2x} \] এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. \[ x^2 + \frac{1}{16x^2} \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. দেখাও যে, \[ 16(x^4 + \frac{1}{256x^4}) = -1 \] (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৮
কোনো সংখ্যা ও ঐ সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার অন্তর 4।
ক. সংখ্যাটিকে \[ x \] চলকে প্রকাশ করে উপরের তথ্যটির সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর। (2)
খ. \[ x^2 + \frac{1}{x^2} \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. \[ x^4 + \frac{1}{x^4} \] এর মান নির্ণয় কর। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৯
একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. সূত্রের সাহায্যে গুণ কর। (2)
খ. দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (4)
গ. \[ p = 2 \] এবং \[ q = 2 \] হলে দেখাও যে, প্রাপ্ত রাশির মান এবং দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশিত রাশির মান সমান। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ৩০
\[ x + y – z \] একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. রাশিটির বর্গ নির্ণয় কর। (2)
খ. \[ x = 5a, y = -6b \] এবং \[ z = 7c \] হলে প্রাপ্ত রাশির বর্গের মান কত হবে? (8)
গ. ‘খ’ এর প্রাপ্ত রাশিটি \[ (5a – 7c)^2 – (5a – 6b)^2 \] এর সমান করতে হলে কত বিয়োগ করতে হবে? (8)
প্রাকটিস শীট
\[ \textbf{১।} \text{ যদি } x + \frac{1}{x} = 5 \text{ হয়, তবে } x^2 + \frac{1}{x^2} \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{২।} \text{ দেওয়া আছে } y^2 + \frac{1}{y^2} = 12, \text{ তবে } y + \frac{1}{y} \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{৩।} \text{ যদি } a + b = 7 \text{ এবং } ab = 10 \text{ হয়, তবে } a^2 + b^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{৪।} \text{ যদি } m^2 + 3m – 10 = 0 \text{ হয়, তবে } m \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{৫।} \text{ যদি } z – \frac{1}{z} = 6 \text{ হয়, তবে } z^3 – \frac{1}{z^3} \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{৬।} \text{ যদি } a + \frac{1}{a} = 4 \text{ হয়, তবে } a^5 + \frac{1}{a^5} \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{৭।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } x^2 – 4x + 4 = 0 \text{ হয়, তবে } x = 2. \]
\[ \textbf{৮।} \text{ দেওয়া আছে } a^2 + b^2 = 25 \text{ এবং } ab = 12, \text{ তবে } (a + b)^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{৯।} \text{ যদি } a + b + c = 10 \text{ এবং } ab + bc + ca = 20 \text{ হয়, তবে } (a+b+c)^2 – 2(ab + bc + ca) \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{১০।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } x – \frac{1}{x} = 3 \text{ হয়, তবে } x^3 – \frac{1}{x^3} = 3\left(x + \frac{1}{x}\right). \]
\[ \textbf{১১।} \text{ যদি } x – \frac{1}{x} = 4 \text{ হয়, তবে } x^2 + \frac{1}{x^2} \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{১২।} \text{ দেওয়া আছে } a^2 + \frac{1}{a^2} = 15, \text{ তবে } a + \frac{1}{a} \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{১৩।} \text{ যদি } p + q = 8 \text{ এবং } pq = 15 \text{ হয়, তবে } p^2 + q^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{১৪।} \text{ সমীকরণটি সমাধান কর: } m^2 – 5m + 6 = 0. \]
\[ \textbf{১৫।} \text{ যদি } y – \frac{1}{y} = 5 \text{ হয়, তবে } y^3 – \frac{1}{y^3} \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{১৬।} \text{ যদি } b + \frac{1}{b} = 3 \text{ হয়, তবে } b^5 + \frac{1}{b^5} \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{১৭।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } z^2 – 6z + 9 = 0 \text{ হয়, তবে } z = 3. \]
\[ \textbf{১৮।} \text{ যদি } c^2 + d^2 = 40 \text{ এবং } cd = 18, \text{ তবে } (c + d)^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{১৯।} \text{ যদি } x + y + z = 15 \text{ এবং } xy + yz + zx = 45 \text{ হয়, তবে } (x+y+z)^2 – 2(xy + yz + zx) \text{ এর মান নির্ণয় কর।} \]
\[ \textbf{২০।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } w – \frac{1}{w} = 2 \text{ হয়, তবে } w^3 – \frac{1}{w^3} = 2\left(w + \frac{1}{w}\right). \]
