৮ম শ্রেণি গণিত Class eight math অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন
৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান,৮ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান,অষ্টম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ৪.১ সৃজনশীল সমাধান,৮ম শ্রেণির গণিত অধ্যায় ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন,৮ম শ্রেণি গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন অধ্যায় ৪.১,অষ্টম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর,
Class 8 Math Chapter 4.1 Creative Questions and Solutions,Class Eight Math Exercise 4.1 Creative Question Answers,8th Grade Math Chapter 4 Exercise 4.1 Creative Problem Solving,Class 8 Mathematics Exercise 4.1 Creative Solution Guide,Class 8 Math Chapter 4.1 Creative Questions with Solutions
সৃজনশীল প্রশ্ন – ১
x - \frac{1}{x} = 3, a + \frac{1}{a} = 4 হলে
ক. x + \frac{1}{x} এর মান কত?
খ. a^4 + \frac{1}{a^4} এর মান নির্ণয় কর।
গ. a^2 - 1 = am হলে দেখাও যে, a^4 + \frac{1}{a^4} = m^4 + 4m^2 + 2
সমাধান -১
ক. দেওয়া আছে, x - \frac{1}{x} = 3
বা, \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = 3^2
বা, \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 9
বা, \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 4 = 9
বা, \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 9 + 4
বা, \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 13
∴ x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{13}
উত্তরঃ \pm \sqrt{13}
x - \frac{1}{x} = 4 এবং m + \frac{1}{m} = 3; m > 0 .
সৃজনশীল প্রশ্ন – 2
ক. x^2 + \frac{1}{x^2} এর মান নির্ণয় কর।
খ. প্রমাণ কর যে, m = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}
গ. m + \frac{1}{m} = 4 হলে এর মান বের কর।
সমাধান -২
ক. দেওয়া আছে, x - \frac{1}{x} = 4
প্রদত্ত রাশি = x^2 + \frac{1}{x^2}
= \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}
= (4)^2 + 2 
= 16 + 2
= 18
খ. দেওয়া আছে, m + \frac{1}{m} = 3 \ldots \ldots (1)
আমরা জানি,
\left( m - \frac{1}{m} \right)^2 = \left( m + \frac{1}{m} \right)^2 - 4 \cdot m \cdot \frac{1}{m}
= (3)^2 - 4
= 9 - 4
= 5
∴ m - \frac{1}{m} = \sqrt{5} \ldots \ldots \ldots (1) [\because m > 0]
সমীকরণ (1) এবং (1.1) যোগ করে পাই,
m + \frac{1}{m} + m - \frac{1}{m} = 2 + \sqrt{5}
বা, 2m = 2 + \sqrt{5} 
বা, m = \frac{2 + \sqrt{5}}{2}
∴ m = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2} [Proved]
সৃজনশীল প্রশ্ন – 3
x + \frac{1}{x} = 2 এবং x - \frac{1}{x} = 1
ক. \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 এর মান কত? (2)
খ. দেখাও যে, \frac{x}{x^2 + 3x - 1} = \frac{1}{4} (8)
গ. প্রমাণ কর যে, x^2 + \frac{1}{x^2} = x^4 + \frac{1}{x^4} (8)
সমাধান -৩
ক. দেওয়া আছে, x + \frac{1}{x} = 2
∴ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (2)^2 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
= 4 (Ans.)
খ. দেওয়া আছে, x - \frac{1}{x} = 1
বা, x^2 - \frac{1}{x} = 1
∴ x^2 - 1 = x
বামপক্ষ = \frac{x}{x^2 + 3x - 1} = \frac{x}{x^2 - 1 + 3x}
= \frac{x}{x + 3x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} (দেখানো হলো)
গ. বামপক্ষ = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x)^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2
= \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2.x \cdot \frac{1}{x}
= (2)^2 - 2 ∵ x + \frac{1}{x} = 2 দেওয়া আছে।
= 4 - 2 = 2
ডানপক্ষ = x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2
= \left((x + \frac{1}{x})^2 - 2\right)^2 - 2.x^2 \cdot \frac{1}{x^2}
= ((2)^2 - 2)^2 - 2 = (4 - 2)^2 - 2
= (2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2
অর্থাৎ x^2 + \frac{1}{x^2} = x^4 + \frac{1}{x^4} (প্রমাণিত)
সৃজনশীল প্রশ্ন – ৪
p^2 - 5p = 1 হলে—
ক. p - \frac{1}{p} এর মান কত? (2)
খ. p^2 + \frac{1}{p^2} এর মান কত? (8)
গ. প্রমাণ কর যে, p^4 + \frac{1}{p^4} = 727 (8)
সমাধান -৪
ক. দেওয়া আছে, p^2 - 5p = 1
বা, p^2 - 1 = 5p [পক্ষান্তর করে]
বা, p^2 - 1 = 5p [উভয়পক্ষকে p দ্বারা ভাগ করে]
∴ p - \frac{1}{p} = 5 (Ans.)
খ. p^2 + \frac{1}{p^2} = \left( p - \frac{1}{p} \right)^2 + 2.p \cdot \frac{1}{p}
= (5)^2 + 2 [∵ ‘ক’ থেকে p - \frac{1}{p} = 5 ]
∴ p^2 + \frac{1}{p^2} = 27 (Ans.)
গ. বামপক্ষ = p^4 + \frac{1}{p^4}
= (p^2)^2 + \left(\frac{1}{p^2}\right)^2
= \left( p^2 + \frac{1}{p^2} \right)^2 - 2.p^2 \cdot \frac{1}{p^2}
= (5)^2 + 2.p \left( \frac{1}{p} \right)^2
= (25 + 2)^2 = 27
অতএব, p^4 + \frac{1}{p^4} = 727 (প্রমাণিত)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ৫
x^2 - 3x + 1 = 0 হলে—
ক. x + \frac{1}{x} = কত? (2)
খ. x^4 + \frac{1}{x^4} এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. দেখাও যে, \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \left( a^8 + \frac{1}{a^8} \right) = 15449 (8)
সমাধান -৫
ক. দেওয়া আছে, x^2 - 3x + 1 = 0
বা, x^2 + 1 = 3x
বা, x^2 + 1 = \frac{3x}{x}
বা, x^2 + \frac{1}{x} = 3
∴ x + \frac{1}{x} = 3 (Ans.)
খ. x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2
= (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2.x^2 \cdot \frac{1}{x^2}
= (9 - 2)^2 - 2 [∵ 'ক' হতে, x + \frac{1}{x} = 3 ]
= (7)^2 - 2 = 49 - 2 = 47
∴ x^4 + \frac{1}{x^4} = 47 (Ans.)
গ. 'ক' থেকে পাই, x + \frac{1}{x} = 3
বা, \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (3)^2 [বর্গ করে]
বা, x^2 + \frac{1}{x^2} + 2.x \cdot \frac{1}{x} = 9
বা, x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 9
বা, x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2
∴ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7
আবার, 'খ' থেকে পাই, x^4 + \frac{1}{x^4} = 47
বা, \left( x^4 + \frac{1}{x^4} \right)^2 = (47)^2
বা, (x^4)^2 + \left(\frac{1}{x^4}\right)^2 + 2.x^4 \cdot \frac{1}{x^4} = 2209
বা, x^8 + \frac{1}{x^8} + 2 = 2209
বা, x^8 + \frac{1}{x^8} = 2209 - 2 = 2207
∴ \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)\left( a^8 + \frac{1}{a^8} \right) = 15449 (দেখানো হলো)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ৬
x^2 + 1 = 6x
ক. \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 এর মান কত? (2)
খ. x^2 + \frac{1}{x^2} এবং x^2 - \frac{1}{x^2} এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. x^4 + \frac{1}{x^4} এর মান নির্ণয় কর এবং প্রাপ্ত মানকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (8)
সমাধান -৬
ক. দেওয়া আছে, x^2 + 1 = 6x
বা, \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = \frac{6x}{x}
বা, x + \frac{1}{x} = 6
বা, \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (6)^2
∴ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 36 (Ans.)
খ. x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2.x \cdot \frac{1}{x}
= (6)^2 - 2 = 36 - 2 = 34 (Ans.)
গ. x^4 + \frac{1}{x^4} = \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 - 2
= 34 \times 24 \times \sqrt{2} = 816 \times \sqrt{2}
= 816 \times \sqrt{2} (Ans.)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ৭
a = 8x + y, b = 5x + y এবং c = 16x + 2y হলে—
ক. C কে A দ্বারা প্রকাশ কর:
(খ) (a^2 + bc + b^2) নির্ণয় কর। (8)
(গ) প্রমাণ কর যে, a^2 - bc + b^2 = 9x^2 (8)
সমাধান -৭
ক. দেওয়া আছে, a = 8x + y এবং c = 16x + 2y
∴ c = 16x + 2y = 2(8x + y) = 2a = a^2
খ. দেওয়া আছে, a = 8x + y ; b = 5x + y ; c = 16x + 2y
∴ a^2 + bc + b^2 = a^2 + b \times 2a + b^2 [∵ c = 2a]
= a^2 + 2ab + b^2
= (a + b)^2
= (8x + y + 5x + y)^2 [মান বসিয়ে]
= (13x + 2y)^2
= (13x)^2 + 2 \cdot 13x \cdot 2y + (2y)^2
= 169x^2 + 52xy + 4y^2 (Ans.)
গ. বামপক্ষ = a^2 - bc + b^2
= a^2 - b \times 2a + b^2 [∵ c = 2a]
= a^2 - 2ab + b^2
= (a - b)^2
= (8x + y - (5x + y))^2
= (8x + y - 5x - y)^2
= (3x)^2 = 9x^2 (প্রমাণিত)
৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান
সৃজনশীল প্রশ্ন - ৮
(i) x + \frac{1}{x} = 5 এবং (ii) x - \frac{1}{x} = 4
ক. x এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. x^4 - \frac{1}{x^4} এর মান বের কর। (8)
গ. (i) এবং (ii) এর বামপক্ষকে বর্গের সাথে তাদের বামপক্ষ যুক্ত গুণফলের নিপুণ যোগ করে সমান কর। যখন x = -3 (8)
সমাধান -৮
ক. দেওয়া আছে, x + \frac{1}{x} = 5 ............ (i)
এবং x - \frac{1}{x} = 4 ............ (ii)
সমীকরণ (i) এবং (ii) যোগ করে পাই,
x + \frac{1}{x} = 5
∴ \frac{x - \frac{1}{x}}{2x} = 9
খ. প্রদত্ত রাশি = x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 - \left(\frac{1}{x^2}\right)^2
= \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right)
= \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \times 5 \times 4 = 20 \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)
= 20 \times (5^2 - 2) = 20 \times (25 - 2) = 20 \times 23 = 460 (Ans.)
গ. প্রমাণ
\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \left( x + \frac{1}{x} \right)\left( x - \frac{1}{x} \right)
ধরি, x + \frac{1}{x} = a এবং x - \frac{1}{x} = b
নির্দেশ রাশিমালা = a^2 + b^2 + 2ab
= (a + b)^2
= \left( x + \frac{1}{x} + x - \frac{1}{x} \right)^2 [a ও b এর মান বসিয়ে]
= (2x)^2 = 4x^2
= 4(-3)^2 [যখন x = -3]
= 4 \times 9 = 36 (Ans.)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ৯
x^2 - y^2, 27a^3b^3 + 64b^3c^3 এবং a - \frac{1}{3} তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. দ্বিতীয় রাশিকে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)
খ. প্রথম রাশিটির মান z হলে, প্রমাণ কর যে,
x^6 - y^6 - z^6 = 3x^2y^2z^2 (8)
গ. a - \frac{1}{a} = 5 হলে, \left( a^3 - \frac{1}{a^3} \right) এবং \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) এর মান কত? (8)
সমাধান -৯
ক. প্রদত্ত রাশি = 27a^3b^3 + 64b^3c^3
= b^3(27a^3 + 64c^3)
= b^3[(3a)^3 + (4c)^3]
= b^3(3a + 4c)[(3a)^2 - 3a.4c + (4c)^2]
= b^3(3a + 4c)(9a^2 - 12ac + 16c^2) (Ans.)
খ. ১ম রাশি = x^2 - y^2
∴ x^2 - y^2 = z^2
বামপক্ষ = x^6 - y^6 - z^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 - z^6
= (x^2 - y^2) + 3x^2y^2(x^2 - y^2) - z^6
= (z^2) + 3x^2y^2(z^2) - z^6
= z^6 + 3x^2y^2z^2 - z^6 [প্রাপ্ত মান বসিয়ে]
= 3x^2y^2z^2 = ডানপক্ষ
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
গ. এখানে, a - \frac{1}{a} = 5
এখন, a^3 - \frac{1}{a^3} = (a - \frac{1}{a})^3 + 3.a \times \frac{1}{a}
= 5^3 + 3.5 = 125 + 15 = 140
আবার, a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2
= 5^2 + 2 = 25 + 2 = 27
নির্ধারিত মান 140 এবং 27।
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১০
যদি x^2 + \frac{1}{x^2} = 3 , \left( a^2 - \frac{1}{a^2} \right)^2 = 525 এবং m^4 + \frac{1}{m^4} = p^4 + 4p^2 + 2 হয়,
ক. x + \frac{1}{x} এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. প্রমাণ কর যে, m - \frac{1}{m} = p (8)
গ. প্রমাণ কর যে, a + \frac{1}{a} = 5 (8)
সমাধান -১০
ক. x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2.x \cdot \frac{1}{x}
বা, 3 = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2; [প্রাপ্ত মান অনুযায়ী]
বা, \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 5
∴ x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}
খ. দেওয়া আছে, m^4 + \frac{1}{m^4} = p^4 + 4p^2 + 2
বা, (m^2)^2 + \left( \frac{1}{m^2} \right)^2 = (p^2)^2 + 2 \cdot p^2 \cdot 2 + 2^2 - 2
বা, \left( m^2 + \frac{1}{m^2} \right)^2 - 2m^2 \cdot \frac{1}{m^2} = (p^2 + 2)^2 - 2
বা, \left( m^2 + \frac{1}{m^2} \right)^2 = (p^2 + 2)^2
বা, m^2 + \frac{1}{m^2} = p^2 + 2
বা, \left( m - \frac{1}{m} \right)^2 + 2m \cdot \frac{1}{m} = p^2 + 2
বা, \left( m - \frac{1}{m} \right)^2 + 2 = p^2 + 2
বা, \left( m - \frac{1}{m} \right)^2 = p^2
∴ m - \frac{1}{m} = p (প্রমাণিত)
গ. দেওয়া আছে, \left( a^2 - \frac{1}{a^2} \right)^2 = 525
বা, a^2 + \frac{1}{a^2} - 4 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} = 525
বা, \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 - 2 = 525 + 4
বা, \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 = 529
বা, \sqrt{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2} = \sqrt{529}; [বর্গমূল করে]
বা, a + \frac{1}{a} - 2 = 23
বা, a + \frac{1}{a} = 25
∴ a + \frac{1}{a} = 5 (প্রমাণিত)
৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১১
a^2 - b^2, a^3 - b^3 এবং a^4 + a^2b^2 + b^4 তিনটি বীজগণিতীয় রাশি
ক. প্রথম রাশিটির বর্গ নির্ণয় কর। (2)
খ. যদি প্রথম রাশির মান c^2 হয় তবে, প্রমাণ কর যে, a^6 - b^6 - 3a^2b^2c^2 = c^6 (8)
গ. রাশি তিনটির ল.সা.গু. নির্ণয় কর। (4)
সমাধান -১১
ক. ১ম রাশি = a^2 - b^2
∴ a^2 - b^2 এর বর্গ = (a^2 - b^2)^2
= (a^2)^2 - 2.a^2.b^2 + (b^2)^2
= a^4 - 2a^2b^2 + b^4 (Ans.)
খ. দেওয়া আছে, a^2 - b^2 = c^2
বামপক্ষ = a^6 - b^6 - 3a^2b^2c^2
= (a^2)^3 - (b^2)^3 - 3a^2b^2c^2
= a^6 - b^6 - 3a^2b^2c^2
= (c^2)^3 + 3a^2.b^2.c^2 - 3a^2b^2c^2 [∵ a^2 - b^2 = c^2]
= c^6 + 3a^2b^2c^2 - 3a^2b^2c^2 = c^6
∴ a^6 - b^6 - 3a^2b^2c^2 = c^6 (প্রমাণিত)
গ. ১ম রাশি = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
২য় রাশি = a^3 - b^3
= (a - b)(a^2 + ab + b^2)
৩য় রাশি = a^4 + a^2b^2 + b^4
= (a^2)^2 + 2.a^2.b^2 + (b^2)^2 - a^2b^2
= (a^2 + ab)(a^2 - ab)
∴ নির্ণীত ল.সা.গু. = (a + b)(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^6 - b^6 (Ans.)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১২
x + y = 11 এবং x - y = 5 হলে—
ক. x^2 - y^2 = ? (2)
খ. x^4 - y^4 এর মান কত? (8)
গ. দেখাও যে, xy + 31 = x^2 - y^2 (8)
সমাধান -১২
ক. দেওয়া আছে, x + y = 11 এবং x - y = 5
x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) [∵ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)]
= 11 \times 5 [মান বসিয়ে]
= 55
∴ x^2 - y^2 = 55 (Ans.)
খ. x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2
= (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)
= (x^2 + y^2) \times 55 [∵ 'ক' থেকে, x^2 - y^2 = 55 ]
= 55(x^2 + y^2)
(গ):
x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2
= (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)
= (x^2 + y^2) \times 55 [∵ 'ক' হতে, x^2 - y^2 = 55 ]
= 55 (x^2 + y^2)
= 55 \times \frac{1}{2} \times 2 (x^2 + y^2) = 55 \times \frac{1}{2} \{(x + y)^2 + (x - y)^2\}
= 55 \times \frac{1}{2} \{(11)^2 + (5)^2\} [মান বসিয়ে]
= 55 \times \frac{1}{2} (121 + 25) = 55 \times \frac{1}{2} \times 146
= 55 \times 73 = 4015 (Ans.)
গ. আমরা জানি, ab = \frac{(a + b)(a - b)}{4}
∴ xy = \frac{(x + y)(x - y)}{2}
= \frac{(11)(5)}{2} = \frac{121 - 25}{4} = 24
∴ বামপক্ষ = xy + 31 = 24 + 31 = 55
আবার, ডানপক্ষ, x^2 - y^2 = 55 [∵ 'ক' হতে]
∴ xy + 31 = x^2 - y^2 (দেখানো হলো)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১৩
P = a^2 + b^2, Q = a^2 - b^2 এবং R = a^4 + b^4 হলে—
ক. P^2 নির্ণয় কর। (2)
খ. প্রমাণ কর যে, PQR = a^8 - b^8 (8)
গ. দেখাও যে, P^2 + Q^2 = 2R (8)
সমাধান -১৩
ক. দেওয়া আছে, P = a^2 + b^2
∴ P^2 = (a^2 + b^2)^2 [উত্তাপক্ষকে বর্গ করে]
= (a^2)^2 + 2a^2.b^2 + (b^2)^2
= a^4 + 2a^2b^2 + b^4 (Ans.)
খ. দেওয়া আছে, P = a^2 + b^2, Q = a^2 - b^2, R = a^4 + b^4
বামপক্ষ = PQR
= (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^4 + b^4) [মান বসিয়ে]
= \{(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)\} \times (a^4 + b^4)
= (a^4 - b^4) \times (a^4 + b^4) = a^8 - b^8 [∵ (a + b)(a - b) = (a^2 - b^2)] (Ans.)
গ. বামপক্ষ = P^2 + Q^2
= (P + Q)^2 - 2PQ
= (a^2 + b^2 + a^2 - b^2)^2 - 2(a^2 + b^2)(a^2 - b^2) [মান বসিয়ে]
= (2a^2)^2 - 2\{(a^2)^2 - (b^2)^2\}
= 4a^4 - 2(a^4 - b^4) = 4a^4 - 2a^4 + 2b^4
= 2a^4 + 2b^4 = 2(a^4 + b^4) [∵ R = a^4 + b^4]
= 2R (ডানপক্ষ)
∴ P^2 + Q^2 = 2R (দেখানো হলো)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১৪
x + \frac{1}{x} = 4 হলে—
ক. x^2 + \frac{1}{x^2} এর মান কত? (2)
খ. প্রমাণ কর যে, x^4 + \frac{1}{x^4} = 194 (8)
গ. x^4 - \frac{1}{x^4} এর মান নির্ণয় কর। (8)
উত্তর: ক. 14 ; খ. 112\sqrt{3}
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১৫
a = 4, b = 6 এবং c = 3 হলে—
ক. 4a^2b^2 - 16ab^2c + 16bc^2 এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. (2a + 3b)^2 - 2(2a + 3b)(3b - a) + (3b - a)^2 এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. (2a - 4b + 7c)^2 + 2(2a - 4b + 7c)(2a + 4b + 7c) - 2(2a - 4b + 7c)(2a + 4b + 7c) এর মান নির্ণয় কর। (8)
উত্তর: ক. 576 ; খ. 144 ; গ. 2304
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১৬
m + n, m - n, 4m - 3n, 8m + 5n চারটি বীজগণিতীয় রাশি
ক. m + n = 10, m - n = 8 হলে m^2 + n^2 = কত? (2)
খ. তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির গুণফল নির্ণয় কর। (8)
গ. তৃতীয় ও চতুর্থ রাশিতে দুইটি বর্গের অন্তর্ভুক্ত প্রমাণ কর। (8)
উত্তর: ক. 82 ; খ. 32m^2 - 4mn - 15n^2 ; গ. (6m + n)^2 - (2m + 4n)^2
৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১৭
a + b = 3 এবং a - b = 2 হলে—
ক. ab এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. প্রমাণ কর যে, 8ab(a^2 + b^2) = 65 (8)
গ. এই দুইটি বর্গের অন্তর্ভুক্ত প্রমাণ কর। (8)
উত্তর: ক. \frac{5}{4} ; খ. 2^2 - 1^2
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১৮
একটি সংখ্যা (a) এবং এর গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার যোগফল 2।
ক. উদ্দীপকের সমীকরণ আকর্ষ প্রকাশ কর। (2)
খ. দেখাও যে, a + \frac{1}{a^4} = 2 (8)
গ. প্রমাণ কর যে, (a + \frac{1}{a})(a + \frac{1}{a^2})(a^4 + \frac{1}{a^4})(a^8 + \frac{1}{a^8}) = 16 (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ১৯
a = 3xy + 2zx, b = 4x - 3y \text{ এবং } c = x - 5y + 2z তিনটি বীজগণিতীয় সমীকরণ।
ক. C^2 এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. (a + b)^2 এর মান সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর। (8)
গ. দেখাও যে, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২০
x^2 - \sqrt{2}x = 1 হলে—
ক. মান নির্ণয় কর: x - \frac{1}{x} (2)
খ. দেখাও যে, 7(x^2 + \frac{1}{2}) = 2(x^4 + \frac{1}{x^4}) (8)
গ. মান নির্ণয় কর: \frac{1}{x + \frac{1}{x}} (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২১
2(x + y)^2 - 3(x + y) - 2 একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. রাশিটিকে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)
খ. রাশিটিকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপ প্রকাশ কর। (8)
গ. x = 2, y = 7 হলে প্রদত্ত রাশি ও বর্গের অন্তররূপে প্রকাশিত রাশির মান সমান, এর সত্যতা যাচাই কর। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২২
(5x^2 - 3x - 2)^2 + (2 + 5x^2 - 3x)^2 + 2(5x^2 - 3x - 2)(2 + 5x^2 - 3x)
ক. (5x^2 - 3x - 2) কে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)
খ. 'ক' অংশ হতে প্রাপ্ত রাশিধরের দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (8)
গ. উদ্দীপককে সরলাকারে প্রকাশ কর এবং x = 2 এর জন্য সরলকৃত ফলাফলের মান নির্ণয় কর। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২৩
x + \frac{1}{x}, x^2 + \frac{1}{x^2}, x^4 + \frac{1}{x^4} তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. ১ম রাশির মান p হলে দ্বিতীয় রাশির মান কত? (2)
খ. p এর মাধ্যমে তৃতীয় রাশির মান বের কর। (8)
গ. p = 4 হলে তৃতীয় রাশির মান কত? (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২৪
x + y = 8, xy = 15 হলে,
ক. (x - y)^2 = কত? (2)
খ. x^2 - y^2 এবং x^2 + y^2 এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. x^4 + y^4 = কত? (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২৫
a - \frac{1}{a} = 4 হলে,
ক. a^2 + \frac{1}{a^2} কত? (2)
খ. প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে এর মান বের কর। (8)
গ. a^4 - \frac{1}{a^4} কত? (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২৬
x - y = 1, xy = 6 এবং x, y > 0 হলে,
ক. x^2 + y^2 = কত? (2)
খ. x^4 - y^4 এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. (x^4 + y^4)(x^4 - y^4) এর মান নির্ণয় কর। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২৭
যদি 4x^2 - 2x = -1 হয়, তাহলে
ক. 2x + \frac{1}{2x} এর মান নির্ণয় কর। (2)
খ. x^2 + \frac{1}{16x^2} এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. দেখাও যে, 16(x^4 + \frac{1}{256x^4}) = -1 (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২৮
কোনো সংখ্যা ও ঐ সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার অন্তর 4।
ক. সংখ্যাটিকে x চলকে প্রকাশ করে উপরের তথ্যটির সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর। (2)
খ. x^2 + \frac{1}{x^2} এর মান নির্ণয় কর। (8)
গ. x^4 + \frac{1}{x^4} এর মান নির্ণয় কর। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ২৯
একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. সূত্রের সাহায্যে গুণ কর। (2)
খ. দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (4)
গ. p = 2 এবং q = 2 হলে দেখাও যে, প্রাপ্ত রাশির মান এবং দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশিত রাশির মান সমান। (8)
সৃজনশীল প্রশ্ন - ৩০
x + y - z একটি বীজগণিতীয় রাশি।
ক. রাশিটির বর্গ নির্ণয় কর। (2)
খ. x = 5a, y = -6b এবং z = 7c হলে প্রাপ্ত রাশির বর্গের মান কত হবে? (8)
গ. 'খ' এর প্রাপ্ত রাশিটি (5a - 7c)^2 - (5a - 6b)^2 এর সমান করতে হলে কত বিয়োগ করতে হবে? (8)
প্রাকটিস শীট
\textbf{১।} \text{ যদি } x + \frac{1}{x} = 5 \text{ হয়, তবে } x^2 + \frac{1}{x^2} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{২।} \text{ দেওয়া আছে } y^2 + \frac{1}{y^2} = 12, \text{ তবে } y + \frac{1}{y} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{৩।} \text{ যদি } a + b = 7 \text{ এবং } ab = 10 \text{ হয়, তবে } a^2 + b^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{৪।} \text{ যদি } m^2 + 3m - 10 = 0 \text{ হয়, তবে } m \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{৫।} \text{ যদি } z - \frac{1}{z} = 6 \text{ হয়, তবে } z^3 - \frac{1}{z^3} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{৬।} \text{ যদি } a + \frac{1}{a} = 4 \text{ হয়, তবে } a^5 + \frac{1}{a^5} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{৭।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } x^2 - 4x + 4 = 0 \text{ হয়, তবে } x = 2.
\textbf{৮।} \text{ দেওয়া আছে } a^2 + b^2 = 25 \text{ এবং } ab = 12, \text{ তবে } (a + b)^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{৯।} \text{ যদি } a + b + c = 10 \text{ এবং } ab + bc + ca = 20 \text{ হয়, তবে } (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ca) \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{১০।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } x - \frac{1}{x} = 3 \text{ হয়, তবে } x^3 - \frac{1}{x^3} = 3\left(x + \frac{1}{x}\right).
\textbf{১১।} \text{ যদি } x - \frac{1}{x} = 4 \text{ হয়, তবে } x^2 + \frac{1}{x^2} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{১২।} \text{ দেওয়া আছে } a^2 + \frac{1}{a^2} = 15, \text{ তবে } a + \frac{1}{a} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{১৩।} \text{ যদি } p + q = 8 \text{ এবং } pq = 15 \text{ হয়, তবে } p^2 + q^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{১৪।} \text{ সমীকরণটি সমাধান কর: } m^2 - 5m + 6 = 0.
\textbf{১৫।} \text{ যদি } y - \frac{1}{y} = 5 \text{ হয়, তবে } y^3 - \frac{1}{y^3} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{১৬।} \text{ যদি } b + \frac{1}{b} = 3 \text{ হয়, তবে } b^5 + \frac{1}{b^5} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{১৭।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } z^2 - 6z + 9 = 0 \text{ হয়, তবে } z = 3.
\textbf{১৮।} \text{ যদি } c^2 + d^2 = 40 \text{ এবং } cd = 18, \text{ তবে } (c + d)^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{১৯।} \text{ যদি } x + y + z = 15 \text{ এবং } xy + yz + zx = 45 \text{ হয়, তবে } (x+y+z)^2 - 2(xy + yz + zx) \text{ এর মান নির্ণয় কর।}
\textbf{২০।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } w - \frac{1}{w} = 2 \text{ হয়, তবে } w^3 - \frac{1}{w^3} = 2\left(w + \frac{1}{w}\right).
