৮ম শ্রেণি গণিত Class Eight Math অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন

৮ম শ্রেণি গণিত Class eight math অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন

৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান,৮ম শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান,অষ্টম শ্রেণি গণিত অধ্যায় ৪.১ সৃজনশীল সমাধান,৮ম শ্রেণির গণিত অধ্যায় ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্ন,৮ম শ্রেণি গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন অধ্যায় ৪.১,অষ্টম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর,
Class 8 Math Chapter 4.1 Creative Questions and Solutions,Class Eight Math Exercise 4.1 Creative Question Answers,8th Grade Math Chapter 4 Exercise 4.1 Creative Problem Solving,Class 8 Mathematics Exercise 4.1 Creative Solution Guide,Class 8 Math Chapter 4.1 Creative Questions with Solutions

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১

$x - \frac{1}{x} = 3, a + \frac{1}{a} = 4 হলে$

ক. $x + \frac{1}{x}$ এর মান কত?

খ. $a^4 + \frac{1}{a^4}$ এর মান নির্ণয় কর।

গ. $a^2 - 1 = am$ হলে দেখাও যে, $a^4 + \frac{1}{a^4} = m^4 + 4m^2 + 2$

সমাধান -১

ক. দেওয়া আছে, $x - \frac{1}{x} = 3$

বা, $\left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = 3^2$

বা, $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 9$

বা, $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 4 = 9$

বা, $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 9 + 4$

বা, $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 13$

∴ $x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{13}$

উত্তরঃ $\pm \sqrt{13}$

$x - \frac{1}{x} = 4$ এবং $m + \frac{1}{m} = 3; m > 0$ .

সৃজনশীল প্রশ্ন – 2

ক. $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর।

খ. প্রমাণ কর যে, $m = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$

গ. $m + \frac{1}{m} = 4$ হলে এর মান বের কর।

সমাধান -২

ক. দেওয়া আছে, $x - \frac{1}{x} = 4$

প্রদত্ত রাশি = $x^2 + \frac{1}{x^2}$

= $\left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

= $(4)^2 + 2$

= $16 + 2$

= $18$

খ. দেওয়া আছে, $m + \frac{1}{m} = 3 \ldots \ldots (1)$

আমরা জানি,

$\left( m - \frac{1}{m} \right)^2 = \left( m + \frac{1}{m} \right)^2 - 4 \cdot m \cdot \frac{1}{m}$

= $(3)^2 - 4$

= $9 - 4$

= $5$

∴ $m - \frac{1}{m} = \sqrt{5} \ldots \ldots \ldots (1) [\because m > 0]$

সমীকরণ (1) এবং (1.1) যোগ করে পাই,

$m + \frac{1}{m} + m - \frac{1}{m} = 2 + \sqrt{5}$

বা, $2m = 2 + \sqrt{5}$

বা, $m = \frac{2 + \sqrt{5}}{2}$

∴ $m = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$ [Proved]

সৃজনশীল প্রশ্ন – 3

$x + \frac{1}{x} = 2$ এবং $x - \frac{1}{x} = 1$

ক. $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2$ এর মান কত? (2)

খ. দেখাও যে, $\frac{x}{x^2 + 3x - 1} = \frac{1}{4}$ (8)

গ. প্রমাণ কর যে, $x^2 + \frac{1}{x^2} = x^4 + \frac{1}{x^4}$ (8)

সমাধান -৩

ক. দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 2$

∴ $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (2)^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

= 4 (Ans.)

খ. দেওয়া আছে, $x - \frac{1}{x} = 1$

বা, $x^2 - \frac{1}{x} = 1$

∴ $x^2 - 1 = x$

বামপক্ষ = $\frac{x}{x^2 + 3x - 1} = \frac{x}{x^2 - 1 + 3x}$

= $\frac{x}{x + 3x} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$ (দেখানো হলো)

গ. বামপক্ষ = $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x)^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2$

= $\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2.x \cdot \frac{1}{x}$

= $(2)^2 - 2$ ∵ $x + \frac{1}{x} = 2$ দেওয়া আছে।

= $4 - 2 = 2$

ডানপক্ষ = $x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2$

= $\left((x + \frac{1}{x})^2 - 2\right)^2 - 2.x^2 \cdot \frac{1}{x^2}$

= $((2)^2 - 2)^2 - 2$ = $(4 - 2)^2 - 2$

= $(2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

অর্থাৎ $x^2 + \frac{1}{x^2} = x^4 + \frac{1}{x^4}$ (প্রমাণিত)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ৪

$p^2 - 5p = 1$ হলে—

ক. $p - \frac{1}{p}$ এর মান কত? (2)

খ. $p^2 + \frac{1}{p^2}$ এর মান কত? (8)

গ. প্রমাণ কর যে, $p^4 + \frac{1}{p^4} = 727$ (8)

সমাধান -৪

ক. দেওয়া আছে, $p^2 - 5p = 1$

বা, $p^2 - 1 = 5p$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $p^2 - 1 = 5p$ [উভয়পক্ষকে $p$ দ্বারা ভাগ করে]

∴ $p - \frac{1}{p} = 5$ (Ans.)

খ. $p^2 + \frac{1}{p^2} = \left( p - \frac{1}{p} \right)^2 + 2.p \cdot \frac{1}{p}$

= $(5)^2 + 2$ [∵ ‘ক’ থেকে $p - \frac{1}{p} = 5$ ]

∴ $p^2 + \frac{1}{p^2} = 27$ (Ans.)

গ. বামপক্ষ = $p^4 + \frac{1}{p^4}$

= $(p^2)^2 + \left(\frac{1}{p^2}\right)^2$

= $\left( p^2 + \frac{1}{p^2} \right)^2 - 2.p^2 \cdot \frac{1}{p^2}$

= $(5)^2 + 2.p \left( \frac{1}{p} \right)^2$

= $(25 + 2)^2 = 27$

অতএব, $p^4 + \frac{1}{p^4} = 727$ (প্রমাণিত)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ৫

$x^2 - 3x + 1 = 0$ হলে—

ক. $x + \frac{1}{x}$ = কত? (2)

খ. $x^4 + \frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

গ. দেখাও যে, $\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \left( a^8 + \frac{1}{a^8} \right) = 15449$ (8)

সমাধান -৫

ক. দেওয়া আছে, $x^2 - 3x + 1 = 0$

বা, $x^2 + 1 = 3x$

বা, $x^2 + 1 = \frac{3x}{x}$

বা, $x^2 + \frac{1}{x} = 3$

∴ $x + \frac{1}{x} = 3$ (Ans.)

খ. $x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 + \left(\frac{1}{x^2}\right)^2$

= $(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2.x^2 \cdot \frac{1}{x^2}$

= $(9 - 2)^2 - 2$ [∵ ‘ক’ হতে, $x + \frac{1}{x} = 3$ ]

= $(7)^2 - 2 = 49 - 2 = 47$

∴ $x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$ (Ans.)

গ. ‘ক’ থেকে পাই, $x + \frac{1}{x} = 3$

বা, $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (3)^2$ [বর্গ করে]

বা, $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2.x \cdot \frac{1}{x} = 9$

বা, $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 9$

বা, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2$

∴ $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

আবার, ‘খ’ থেকে পাই, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$

বা, $\left( x^4 + \frac{1}{x^4} \right)^2 = (47)^2$

বা, $(x^4)^2 + \left(\frac{1}{x^4}\right)^2 + 2.x^4 \cdot \frac{1}{x^4} = 2209$

বা, $x^8 + \frac{1}{x^8} + 2 = 2209$

বা, $x^8 + \frac{1}{x^8} = 2209 - 2 = 2207$

∴ $\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)\left( a^8 + \frac{1}{a^8} \right) = 15449$ (দেখানো হলো)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ৬

$x^2 + 1 = 6x$

ক. $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2$ এর মান কত? (2)

খ. $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এবং $x^2 - \frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

গ. $x^4 + \frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর এবং প্রাপ্ত মানকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (8)

সমাধান -৬

ক. দেওয়া আছে, $x^2 + 1 = 6x$

বা, $\frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = \frac{6x}{x}$

বা, $x + \frac{1}{x} = 6$

বা, $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = (6)^2$

∴ $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 36$ (Ans.)

খ. $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2.x \cdot \frac{1}{x}$

= $(6)^2 - 2 = 36 - 2 = 34$ (Ans.)

গ. $x^4 + \frac{1}{x^4} = \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)^2 - 2$

= $34 \times 24 \times \sqrt{2} = 816 \times \sqrt{2}$

= $816 \times \sqrt{2}$ (Ans.)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ৭

a = 8x + y, b = 5x + y এবং c = 16x + 2y হলে—

ক. C কে A দ্বারা প্রকাশ কর:

(খ) $(a^2 + bc + b^2)$ নির্ণয় কর। (8)

(গ) প্রমাণ কর যে, $a^2 - bc + b^2 = 9x^2$ (8)

সমাধান -৭

ক. দেওয়া আছে, $a = 8x + y$ এবং $c = 16x + 2y$

∴ $c = 16x + 2y = 2(8x + y) = 2a = a^2$

খ. দেওয়া আছে, $a = 8x + y$ ; $b = 5x + y$ ; $c = 16x + 2y$

∴ $a^2 + bc + b^2 = a^2 + b \times 2a + b^2$ [∵ c = 2a]

= $a^2 + 2ab + b^2$

= $(a + b)^2$

= $(8x + y + 5x + y)^2$ [মান বসিয়ে]

= $(13x + 2y)^2$

= $(13x)^2 + 2 \cdot 13x \cdot 2y + (2y)^2$

= $169x^2 + 52xy + 4y^2$ (Ans.)

গ. বামপক্ষ = $a^2 - bc + b^2$

= $a^2 - b \times 2a + b^2$ [∵ c = 2a]

= $a^2 - 2ab + b^2$

= $(a - b)^2$

= $(8x + y - (5x + y))^2$

= $(8x + y - 5x - y)^2$

= $(3x)^2 = 9x^2$ (প্রমাণিত)

৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্ন – ৮

(i) $x + \frac{1}{x} = 5$ এবং (ii) $x - \frac{1}{x} = 4$

ক. $x$ এর মান নির্ণয় কর। (2)

খ. $x^4 - \frac{1}{x^4}$ এর মান বের কর। (8)

গ. (i) এবং (ii) এর বামপক্ষকে বর্গের সাথে তাদের বামপক্ষ যুক্ত গুণফলের নিপুণ যোগ করে সমান কর। যখন $x = -3$ (8)

সমাধান -৮

ক. দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 5$ ………… (i)

এবং $x - \frac{1}{x} = 4$ ………… (ii)

সমীকরণ (i) এবং (ii) যোগ করে পাই,

$x + \frac{1}{x} = 5$

∴ $\frac{x - \frac{1}{x}}{2x} = 9$

খ. প্রদত্ত রাশি = $x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2)^2 - \left(\frac{1}{x^2}\right)^2$

= $\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \left( x^2 - \frac{1}{x^2} \right)$

= $\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) \times 5 \times 4 = 20 \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)$

= $20 \times (5^2 - 2) = 20 \times (25 - 2) = 20 \times 23 = 460$ (Ans.)

গ. প্রমাণ

$\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 + \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \left( x + \frac{1}{x} \right)\left( x - \frac{1}{x} \right)$

ধরি, $x + \frac{1}{x} = a$ এবং $x - \frac{1}{x} = b$

নির্দেশ রাশিমালা = $a^2 + b^2 + 2ab$

= $(a + b)^2$

= $\left( x + \frac{1}{x} + x - \frac{1}{x} \right)^2$ [a ও b এর মান বসিয়ে]

= $(2x)^2 = 4x^2$

= $4(-3)^2 [যখন x = -3]$

= $4 \times 9 = 36$ (Ans.)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ৯

$x^2 - y^2, 27a^3b^3 + 64b^3c^3$ এবং $a - \frac{1}{3}$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।

ক. দ্বিতীয় রাশিকে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)

খ. প্রথম রাশিটির মান z হলে, প্রমাণ কর যে,

$x^6 - y^6 - z^6 = 3x^2y^2z^2$ (8)

গ. $a - \frac{1}{a} = 5$ হলে, $\left( a^3 - \frac{1}{a^3} \right)$ এবং $\left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right)$ এর মান কত? (8)

সমাধান -৯

ক. প্রদত্ত রাশি = $27a^3b^3 + 64b^3c^3$

= $b^3(27a^3 + 64c^3)$

= $b^3[(3a)^3 + (4c)^3]$

= $b^3(3a + 4c)[(3a)^2 - 3a.4c + (4c)^2]$

= $b^3(3a + 4c)(9a^2 - 12ac + 16c^2)$ (Ans.)

খ. ১ম রাশি = $x^2 - y^2$

∴ $x^2 - y^2 = z^2$

বামপক্ষ = $x^6 - y^6 - z^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 - z^6$

= $(x^2 - y^2) + 3x^2y^2(x^2 - y^2) - z^6$

= $(z^2) + 3x^2y^2(z^2) - z^6$

= $z^6 + 3x^2y^2z^2 - z^6$ [প্রাপ্ত মান বসিয়ে]

= $3x^2y^2z^2$ = ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

গ. এখানে, $a - \frac{1}{a} = 5$

এখন, $a^3 - \frac{1}{a^3} = (a - \frac{1}{a})^3 + 3.a \times \frac{1}{a}$

= $5^3 + 3.5 = 125 + 15 = 140$

আবার, $a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2$

= $5^2 + 2 = 25 + 2 = 27$

নির্ধারিত মান 140 এবং 27।

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১০

যদি $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$ , $\left( a^2 - \frac{1}{a^2} \right)^2 = 525$ এবং $m^4 + \frac{1}{m^4} = p^4 + 4p^2 + 2$ হয়,

ক. $x + \frac{1}{x}$ এর মান নির্ণয় কর। (2)

খ. প্রমাণ কর যে, $m - \frac{1}{m} = p$ (8)

গ. প্রমাণ কর যে, $a + \frac{1}{a} = 5$ (8)

সমাধান -১০

ক. $x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2.x \cdot \frac{1}{x}$

বা, $3 = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - 2; [প্রাপ্ত মান অনুযায়ী]$

বা, $\left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = 5$

∴ $x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$

খ. দেওয়া আছে, $m^4 + \frac{1}{m^4} = p^4 + 4p^2 + 2$

বা, $(m^2)^2 + \left( \frac{1}{m^2} \right)^2 = (p^2)^2 + 2 \cdot p^2 \cdot 2 + 2^2 - 2$

বা, $\left( m^2 + \frac{1}{m^2} \right)^2 - 2m^2 \cdot \frac{1}{m^2} = (p^2 + 2)^2 - 2$

বা, $\left( m^2 + \frac{1}{m^2} \right)^2 = (p^2 + 2)^2$

বা, $m^2 + \frac{1}{m^2} = p^2 + 2$

বা, $\left( m - \frac{1}{m} \right)^2 + 2m \cdot \frac{1}{m} = p^2 + 2$

বা, $\left( m - \frac{1}{m} \right)^2 + 2 = p^2 + 2$

বা, $\left( m - \frac{1}{m} \right)^2 = p^2$

∴ $m - \frac{1}{m} = p$ (প্রমাণিত)

গ. দেওয়া আছে, $\left( a^2 - \frac{1}{a^2} \right)^2 = 525$

বা, $a^2 + \frac{1}{a^2} - 4 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} = 525$

বা, $\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 - 2 = 525 + 4$

বা, $\left( a + \frac{1}{a} \right)^2 = 529$

বা, $\sqrt{\left( a + \frac{1}{a} \right)^2} = \sqrt{529}; [বর্গমূল করে]$

বা, $a + \frac{1}{a} - 2 = 23$

বা, $a + \frac{1}{a} = 25$

∴ $a + \frac{1}{a} = 5$ (প্রমাণিত)

৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১১

$a^2 - b^2, a^3 - b^3$ এবং $a^4 + a^2b^2 + b^4$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি

ক. প্রথম রাশিটির বর্গ নির্ণয় কর। (2)

খ. যদি প্রথম রাশির মান $c^2$ হয় তবে, প্রমাণ কর যে, $a^6 - b^6 - 3a^2b^2c^2 = c^6$ (8)

গ. রাশি তিনটির ল.সা.গু. নির্ণয় কর। (4)

সমাধান -১১

ক. ১ম রাশি = $a^2 - b^2$

∴ $a^2 - b^2$ এর বর্গ = $(a^2 - b^2)^2$

= $(a^2)^2 - 2.a^2.b^2 + (b^2)^2$

= $a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ (Ans.)

খ. দেওয়া আছে, $a^2 - b^2 = c^2$

বামপক্ষ = $a^6 - b^6 - 3a^2b^2c^2$

= $(a^2)^3 - (b^2)^3 - 3a^2b^2c^2$

= $a^6 - b^6 - 3a^2b^2c^2$

= $(c^2)^3 + 3a^2.b^2.c^2 - 3a^2b^2c^2$ [∵ a^2 – b^2 = c^2]

= $c^6 + 3a^2b^2c^2 - 3a^2b^2c^2 = c^6$

∴ $a^6 - b^6 - 3a^2b^2c^2 = c^6$ (প্রমাণিত)

গ. ১ম রাশি = $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

২য় রাশি = $a^3 - b^3$

= $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

৩য় রাশি = $a^4 + a^2b^2 + b^4$

= $(a^2)^2 + 2.a^2.b^2 + (b^2)^2 - a^2b^2$

= $(a^2 + ab)(a^2 - ab)$

∴ নির্ণীত ল.সা.গু. = $(a + b)(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^6 - b^6$ (Ans.)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১২

$x + y = 11$ এবং $x - y = 5$ হলে—

ক. $x^2 - y^2 = ?$ (2)

খ. $x^4 - y^4$ এর মান কত? (8)

গ. দেখাও যে, $xy + 31 = x^2 - y^2$ (8)

সমাধান -১২

ক. দেওয়া আছে, $x + y = 11$ এবং $x - y = 5$

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ [∵ a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)]

= $11 \times 5$ [মান বসিয়ে]

= 55

∴ $x^2 - y^2 = 55$ (Ans.)

খ. $x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2$

= $(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$

= $(x^2 + y^2) \times 55$ [∵ ‘ক’ থেকে, $x^2 - y^2 = 55$ ]

= $55(x^2 + y^2)$

(গ):

$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2$

= $(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)$

= $(x^2 + y^2) \times 55$ [∵ ‘ক’ হতে, $x^2 - y^2 = 55$ ]

= $55 (x^2 + y^2)$

= $55 \times \frac{1}{2} \times 2 (x^2 + y^2) = 55 \times \frac{1}{2} \{(x + y)^2 + (x - y)^2\}$

= $55 \times \frac{1}{2} \{(11)^2 + (5)^2\}$ [মান বসিয়ে]

= $55 \times \frac{1}{2} (121 + 25) = 55 \times \frac{1}{2} \times 146$

= $55 \times 73 = 4015$ (Ans.)

গ. আমরা জানি, $ab = \frac{(a + b)(a - b)}{4}$

∴ $xy = \frac{(x + y)(x - y)}{2}$

= $\frac{(11)(5)}{2} = \frac{121 - 25}{4} = 24$

∴ বামপক্ষ = $xy + 31 = 24 + 31 = 55$

আবার, ডানপক্ষ, $x^2 - y^2 = 55$ [∵ ‘ক’ হতে]

∴ $xy + 31 = x^2 - y^2$ (দেখানো হলো)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৩

$P = a^2 + b^2, Q = a^2 - b^2$ এবং $R = a^4 + b^4$ হলে—

ক. $P^2$ নির্ণয় কর। (2)

খ. প্রমাণ কর যে, $PQR = a^8 - b^8$ (8)

গ. দেখাও যে, $P^2 + Q^2 = 2R$ (8)

সমাধান -১৩

ক. দেওয়া আছে, $P = a^2 + b^2$

∴ $P^2 = (a^2 + b^2)^2$ [উত্তাপক্ষকে বর্গ করে]

= $(a^2)^2 + 2a^2.b^2 + (b^2)^2$

= $a^4 + 2a^2b^2 + b^4$ (Ans.)

খ. দেওয়া আছে, $P = a^2 + b^2, Q = a^2 - b^2, R = a^4 + b^4$

বামপক্ষ = $PQR$

= $(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^4 + b^4)$ [মান বসিয়ে]

= $\{(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)\} \times (a^4 + b^4)$

= $(a^4 - b^4) \times (a^4 + b^4) = a^8 - b^8$ [∵ (a + b)(a – b) = (a^2 – b^2)] (Ans.)

গ. বামপক্ষ = $P^2 + Q^2$

= $(P + Q)^2 - 2PQ$

= $(a^2 + b^2 + a^2 - b^2)^2 - 2(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)$ [মান বসিয়ে]

= $(2a^2)^2 - 2\{(a^2)^2 - (b^2)^2\}$

= $4a^4 - 2(a^4 - b^4) = 4a^4 - 2a^4 + 2b^4$

= $2a^4 + 2b^4 = 2(a^4 + b^4)$ [∵ R = a^4 + b^4]

= $2R$ (ডানপক্ষ)

∴ $P^2 + Q^2 = 2R$ (দেখানো হলো)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৪

$x + \frac{1}{x} = 4$ হলে—

ক. $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান কত? (2)

খ. প্রমাণ কর যে, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 194$ (8)

গ. $x^4 - \frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

উত্তর: ক. $14$ ; খ. $112\sqrt{3}$

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৫

$a = 4, b = 6$ এবং $c = 3$ হলে—

ক. $4a^2b^2 - 16ab^2c + 16bc^2$ এর মান নির্ণয় কর। (2)

খ. $(2a + 3b)^2 - 2(2a + 3b)(3b - a) + (3b - a)^2$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

গ. $(2a - 4b + 7c)^2 + 2(2a - 4b + 7c)(2a + 4b + 7c) - 2(2a - 4b + 7c)(2a + 4b + 7c)$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

উত্তর: ক. $576$ ; খ. $144$ ; গ. $2304$

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৬

$m + n, m - n, 4m - 3n, 8m + 5n$ চারটি বীজগণিতীয় রাশি

ক. $m + n = 10, m - n = 8$ হলে $m^2 + n^2$ = কত? (2)

খ. তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির গুণফল নির্ণয় কর। (8)

গ. তৃতীয় ও চতুর্থ রাশিতে দুইটি বর্গের অন্তর্ভুক্ত প্রমাণ কর। (8)

উত্তর: ক. $82$ ; খ. $32m^2 - 4mn - 15n^2$ ; গ. $(6m + n)^2 - (2m + 4n)^2$

৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৭

$a + b = 3$ এবং $a - b = 2$ হলে—

ক. $ab$ এর মান নির্ণয় কর। (2)

খ. প্রমাণ কর যে, $8ab(a^2 + b^2) = 65$ (8)

গ. এই দুইটি বর্গের অন্তর্ভুক্ত প্রমাণ কর। (8)

উত্তর: ক. $\frac{5}{4}$ ; খ. $2^2 - 1^2$

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৮

একটি সংখ্যা (a) এবং এর গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার যোগফল 2।

ক. উদ্দীপকের সমীকরণ আকর্ষ প্রকাশ কর। (2)

খ. দেখাও যে, $a + \frac{1}{a^4} = 2$ (8)

গ. প্রমাণ কর যে, $(a + \frac{1}{a})(a + \frac{1}{a^2})(a^4 + \frac{1}{a^4})(a^8 + \frac{1}{a^8}) = 16$ (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ১৯

$a = 3xy + 2zx, b = 4x - 3y \text{ এবং } c = x - 5y + 2z$ তিনটি বীজগণিতীয় সমীকরণ।

ক. $C^2$ এর মান নির্ণয় কর। (2)

খ. $(a + b)^2$ এর মান সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর। (8)

গ. দেখাও যে, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২০

$x^2 - \sqrt{2}x = 1$ হলে—

ক. মান নির্ণয় কর: $x - \frac{1}{x}$ (2)

খ. দেখাও যে, $7(x^2 + \frac{1}{2}) = 2(x^4 + \frac{1}{x^4})$ (8)

গ. মান নির্ণয় কর: $\frac{1}{x + \frac{1}{x}}$ (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২১

$2(x + y)^2 - 3(x + y) - 2$ একটি বীজগণিতীয় রাশি।

ক. রাশিটিকে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)

খ. রাশিটিকে দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপ প্রকাশ কর। (8)

গ. $x = 2, y = 7$ হলে প্রদত্ত রাশি ও বর্গের অন্তররূপে প্রকাশিত রাশির মান সমান, এর সত্যতা যাচাই কর। (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২২

$(5x^2 - 3x - 2)^2 + (2 + 5x^2 - 3x)^2 + 2(5x^2 - 3x - 2)(2 + 5x^2 - 3x)$

ক. $(5x^2 - 3x - 2)$ কে উপাদানকে বিশ্লেষণ কর। (2)

খ. ‘ক’ অংশ হতে প্রাপ্ত রাশিধরের দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (8)

গ. উদ্দীপককে সরলাকারে প্রকাশ কর এবং $x = 2$ এর জন্য সরলকৃত ফলাফলের মান নির্ণয় কর। (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৩

$x + \frac{1}{x}, x^2 + \frac{1}{x^2}, x^4 + \frac{1}{x^4}$ তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।

ক. ১ম রাশির মান p হলে দ্বিতীয় রাশির মান কত? (2)

খ. p এর মাধ্যমে তৃতীয় রাশির মান বের কর। (8)

গ. $p = 4$ হলে তৃতীয় রাশির মান কত? (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৪

$x + y = 8, xy = 15$ হলে,

ক. $(x - y)^2$ = কত? (2)

খ. $x^2 - y^2$ এবং $x^2 + y^2$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

গ. $x^4 + y^4$ = কত? (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৫

$a - \frac{1}{a} = 4$ হলে,

ক. $a^2 + \frac{1}{a^2}$ কত? (2)

খ. প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে এর মান বের কর। (8)

গ. $a^4 - \frac{1}{a^4}$ কত? (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৬

$x - y = 1, xy = 6$ এবং $x, y > 0$ হলে,

ক. $x^2 + y^2$ = কত? (2)

খ. $x^4 - y^4$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

গ. $(x^4 + y^4)(x^4 - y^4)$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৭

যদি $4x^2 - 2x = -1$ হয়, তাহলে

ক. $2x + \frac{1}{2x}$ এর মান নির্ণয় কর। (2)

খ. $x^2 + \frac{1}{16x^2}$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

গ. দেখাও যে, $16(x^4 + \frac{1}{256x^4}) = -1$ (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৮

কোনো সংখ্যা ও ঐ সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার অন্তর 4।

ক. সংখ্যাটিকে $x$ চলকে প্রকাশ করে উপরের তথ্যটির সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ কর। (2)

খ. $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

গ. $x^4 + \frac{1}{x^4}$ এর মান নির্ণয় কর। (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ২৯

একটি বীজগণিতীয় রাশি।

ক. সূত্রের সাহায্যে গুণ কর। (2)

খ. দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। (4)

গ. $p = 2$ এবং $q = 2$ হলে দেখাও যে, প্রাপ্ত রাশির মান এবং দুইটি রাশির বর্গের অন্তররূপে প্রকাশিত রাশির মান সমান। (8)

সৃজনশীল প্রশ্ন – ৩০

$x + y - z$ একটি বীজগণিতীয় রাশি।

ক. রাশিটির বর্গ নির্ণয় কর। (2)

খ. $x = 5a, y = -6b$ এবং $z = 7c$ হলে প্রাপ্ত রাশির বর্গের মান কত হবে? (8)

গ. ‘খ’ এর প্রাপ্ত রাশিটি $(5a - 7c)^2 - (5a - 6b)^2$ এর সমান করতে হলে কত বিয়োগ করতে হবে? (8)

প্রাকটিস শীট

$\textbf{১।} \text{ যদি } x + \frac{1}{x} = 5 \text{ হয়, তবে } x^2 + \frac{1}{x^2} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{২।} \text{ দেওয়া আছে } y^2 + \frac{1}{y^2} = 12, \text{ তবে } y + \frac{1}{y} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{৩।} \text{ যদি } a + b = 7 \text{ এবং } ab = 10 \text{ হয়, তবে } a^2 + b^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{৪।} \text{ যদি } m^2 + 3m - 10 = 0 \text{ হয়, তবে } m \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{৫।} \text{ যদি } z - \frac{1}{z} = 6 \text{ হয়, তবে } z^3 - \frac{1}{z^3} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{৬।} \text{ যদি } a + \frac{1}{a} = 4 \text{ হয়, তবে } a^5 + \frac{1}{a^5} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{৭।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } x^2 - 4x + 4 = 0 \text{ হয়, তবে } x = 2.$

$\textbf{৮।} \text{ দেওয়া আছে } a^2 + b^2 = 25 \text{ এবং } ab = 12, \text{ তবে } (a + b)^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{৯।} \text{ যদি } a + b + c = 10 \text{ এবং } ab + bc + ca = 20 \text{ হয়, তবে } (a+b+c)^2 - 2(ab + bc + ca) \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{১০।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } x - \frac{1}{x} = 3 \text{ হয়, তবে } x^3 - \frac{1}{x^3} = 3\left(x + \frac{1}{x}\right).$

$\textbf{১১।} \text{ যদি } x - \frac{1}{x} = 4 \text{ হয়, তবে } x^2 + \frac{1}{x^2} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{১২।} \text{ দেওয়া আছে } a^2 + \frac{1}{a^2} = 15, \text{ তবে } a + \frac{1}{a} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{১৩।} \text{ যদি } p + q = 8 \text{ এবং } pq = 15 \text{ হয়, তবে } p^2 + q^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{১৪।} \text{ সমীকরণটি সমাধান কর: } m^2 - 5m + 6 = 0.$

$\textbf{১৫।} \text{ যদি } y - \frac{1}{y} = 5 \text{ হয়, তবে } y^3 - \frac{1}{y^3} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{১৬।} \text{ যদি } b + \frac{1}{b} = 3 \text{ হয়, তবে } b^5 + \frac{1}{b^5} \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{১৭।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } z^2 - 6z + 9 = 0 \text{ হয়, তবে } z = 3.$

$\textbf{১৮।} \text{ যদি } c^2 + d^2 = 40 \text{ এবং } cd = 18, \text{ তবে } (c + d)^2 \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{১৯।} \text{ যদি } x + y + z = 15 \text{ এবং } xy + yz + zx = 45 \text{ হয়, তবে } (x+y+z)^2 - 2(xy + yz + zx) \text{ এর মান নির্ণয় কর।}$

$\textbf{২০।} \text{ প্রমাণ কর যে, যদি } w - \frac{1}{w} = 2 \text{ হয়, তবে } w^3 - \frac{1}{w^3} = 2\left(w + \frac{1}{w}\right).$

Post Views: 3,367

৮ম শ্রেণি গণিত (Class eight math) অনুশীলনী ৪.১ সৃজনশীল সমস্যা ও সমাধান