সদৃশ ও বিসদৃশ পদ ও বীজগণিতীয় রাশির যোগ বিয়োগ
অসদৃশ পদ কাকে বলে,সদৃশ কাকে বলে,সদৃশ পদের উদাহরণ,বিসদৃশ ভেক্টর কাকে বলে,বিসদৃশ পদের সংজ্ঞা,আক্ষরিক সহগ কাকে বলে, 6 Class math solution Bangladesh pdf, ষষ্ট শ্রেণির গণিত সমাধান, ৬ষ্ট শ্রেণির গণিত সমাধান, Class 6 maths chapter 4.3, সদৃশ ও বিসদৃশ পদ ও বীজগণিতীয় রাশি
অনুশীলনী ৪.৩ এর গুরুত্বপূর্ণ তথ্যাবলি
সদৃশ পদ : এক বা একাধিক রাশির অন্তর্ভুক্ত যেসব পদের একমাত্র পার্থক্য রয়েছে সংখ্যা সহগে, তাদের সদৃশ পদ বলা হয়।
যেমন : সদৃশ পদ 3a, 5a; 7x2ab, x2ab ইত্যাদি।
বিসদৃশ পদ : এক বা একাধিক রাশির অন্তর্ভুক্ত যেসব পদের বীজগণিতীয় প্রতীকে পার্থক্য রয়েছে তাদের বিসদৃশ পদ বলে।
যেমন : 5ab2, 5a2b, 6abx, 6aby ইত্যাদি।
বীজগণিতীয় রাশির যোগ :
দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশি যোগ করতে হলে, তাদের সদৃশ পদের সহগগুলো চিহ্নযুক্ত সংখ্যার নিয়মে যোগ করতে হয়।
এরপর প্রাপ্ত সহগের ডান পাশে প্রতীকগুলো বসাতে হয়।
অসদৃশ পদগুলো তাদের চিহ্নসহ যোগফলে বসাতে হয়।
বীজগণিতীয় রাশির বিয়োগ :
একটি বীজগণিতীয় রাশি থেকে অপর একটি বীজগণিতীয় রাশি বিয়োগ করার ক্ষেত্রে প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয় রাশির যোগাত্মক বিপরীত রাশি যোগ করা হয়।
বিয়োগের জন্য বিয়োজ্য রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন বদলিয়ে প্রাপ্ত রাশিকে প্রথম রাশির সাথে যোগ করতে হয়।
যে পদগুলো বিয়োগ করতে হবে, নিচে নিচে সেগুলোর চিহ্ন পরিবর্তন করে সদৃশ পদগুলোর সাথে যোগ করতে হয়।
১. \[ 5x + 3y \] রাশিতে \[ x \] এর সংখ্যা নিচের কোনটি?
ক) 8
খ) \[ 5x \]
গ) \[ 3y \]
ঘ) 5
ব্যাখ্যা:
\[ 5x + 3y \] রাশিতে \[ 5x = 5 \times x \]
অতএব, \[ x \] এর সংখ্যা 5।
উত্তর: ঘ) 5
২. \[ x \] এর তিনগুণ এবং \[ y \] এর দ্বিগুণের সমষ্টি নিচের কোনটি?
ক) \[ y + 3x \]
খ) \[ 3x + 2y \]
গ) \[ x + 2y \]
ঘ) \[ 2x + 3y \]
ব্যাখ্যা:
\[ x \] এর তিনগুণ হলো \[ 3x \] এবং \[ y \] এর দ্বিগুণ হলো \[ 2y \]
অতএব, \[ x \] এর তিনগুণ এবং \[ y \] এর দ্বিগুণের সমষ্টি \[ 3x + 2y \]
উত্তর: খ) \[ 3x + 2y \]
৩. \[ 7x^3 \times x^2 \] এ \[ x \] এর সূচক নিচের কোনটি?
ক) 7
খ) 5
গ) \[ x^6 \]
ঘ) \[ x^5 \]
ব্যাখ্যা:
\[ 7x^3 \times x^2 = 7x^{3+2} = 7x^5 \]
অতএব, \[ x \] এর সূচক হলো 5।
উত্তর: ঘ) \[ x^5 \]
৪. নিচের কোন জোড়া সঠিক পদ নির্দেশ করে?
ক) \[ 2x, -7xy \]
খ) \[ -3xy, 7x^2y \]
গ) \[ 3x^2, -7x^2 \]
ঘ) \[ 7x^2y, 8xy^2 \]
ব্যাখ্যা:
\[ 3x^2, -7x^2 \] রাশিগুলোতে সাথিরক সংখ্যা এক না হলেও অন্য পদ একই।
অতএব, সঠিক পদ হলো: \[ 3x^2, -7x^2 \]
উত্তর: গ) \[ 3x^2, -7x^2 \]
৫. \[ m^2 – 7 \] রাশিতে \[ m = -6 \] হলে, রাশিটির মান কত?
ক) 36
খ) 13
গ) -29
ঘ) 29
ব্যাখ্যা:
\[ m^2 – 7 = (-6)^2 – 7 = 36 – 7 = 29 \]
অতএব, রাশিটির মান হলো 29।
উত্তর: ঘ) 29
৬. \[ a – b \] থেকে \[ b – a \] বিয়োগ করলে, বিয়োগফল কত হবে?
ক) \[ a + b \]
খ) 0
গ) \[ 2a – 2b \]
ঘ) \[ a \]
ব্যাখ্যা:
\[ a – b \]
– \[ (b – a) \]
= \[ a – b – (b – a) = a – b – b + a = 2a – 2b \]
অতএব, বিয়োগফল হলো: \[ 2a – 2b \]
উত্তর: গ) \[ 2a – 2b \]
৭. \[ x^2 + 3, x^2 – 2, -2x^2 + 1 \] রাশি তিনটির যোগফল কত?
ক) 1
খ) 2
গ) \[ x^2 – 1 \]
ঘ) \[ 1 – x^2 \]
ব্যাখ্যা:
\[ (x^2 + 3) + (x^2 – 2) + (-2x^2 + 1) = x^2 + x^2 – 2x^2 + 3 – 2 + 1 = 0x^2 + 2 = 2 \]
অতএব, যোগফল হলো: 2
উত্তর: খ) 2
ব্যাখ্যা:
\[ x^2 + 3 \]
\[ x^2 – 2 \]
\[ -2x^2 + 1 \]
\underline{0 + 2}
অতএব, যোগফল হলো 2।
৮. \[ 5x^4 \] রাশিতে—
i. \[ x \] এর ঘাত ৪
ii. দুটি পদ আছে
iii. \[ x^4 \] এর সংখ্যা ৫
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা:
\[ 5x^4 \] রাশিতে \[ x^4 \] এর ঘাত হলো ৪ এবং এই রাশিতে দুটি পদ নেই। তাই সঠিক উত্তর হবে:
উত্তর: খ) i ও iii
৯. \[ x \] ও \[ y \] চলকের—
i. যোগফল \[ x + y \]
ii. গুণফল \[ xy \]
iii. বর্গের সমষ্টি \[ x^2 – y^2 \]
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা:
এখানে \[ x \] ও \[ y \] এর যোগফল ও গুণফল সঠিকভাবে দেওয়া আছে, এবং বর্গের সমষ্টি \[ x^2 – y^2 \] ও সঠিক।
উত্তর: ঘ) i, ii ও iii
৬ষ্ঠ শ্রেণি গণিত অনুশীলনী ৪.২ সমাধান
১০. \[ x = 2 \] এবং \[ y = -3 \] হলে ১ম রাশির মান কত?
ক) -১৩
খ) -৫
গ) ৫
ঘ) ১৩
ব্যাখ্যা:
প্রথম রাশি \[ x^2 – y^2 = (2)^2 – (-3)^2 = 4 – 9 = -5 \]
অতএব, ১ম রাশির মান হলো: -৫
উত্তর: খ) -৫
১১. রাশি তিনটির যোগফল কত?
ক) ০
খ) \[ 2x^2 \]
গ) \[ 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \]
ঘ) \[ -2x^2 – 2y^2 – 2z^2 \]
ব্যাখ্যা:
রাশি তিনটির যোগফল হলো: \[ x^2 – y^2 + y^2 – z^2 + z^2 – x^2 = 0 \]
উত্তর: ক) ০
১২.
i) \[ 12x \] হলে \[ x \] এবং ১২-এর ঘাতের সমষ্টি
ii) \[ 4a^3 \] রাশিতে \[ a \] এর সূচক ৩
iii) \[ 3x + 4 \] রাশিতে \[ x \] এর সংখ্যা ৩
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও iii
খ) i, ii ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i ও ii
ব্যাখ্যা:
i. সঠিক নয়; কারণ \[ 12x = 12 \times x \] অর্থাৎ \[ x \] এর ঘাত ১ এবং ১২-এর ঘাত নেই।
ii. সঠিক; কারণ \[ 4a^3 \] রাশিতে \[ a \] এর সূচক ৩।
iii. সঠিক; কারণ \[ 3x \] এর মধ্যে \[ x \] এর সংখ্যা ৩।
অতএব, সঠিক উত্তর: গ) ii ও iii
১৩.
i) \[ 5a x^2 \] এবং \[ -7x^2a \] পদ দুটি সদৃশ
ii) \[ 3x^2 + 2x + y – 5x \] বীজগাণিতিক রাশিতে ৪টি পদ আছে
iii) \[ a = 2 \] এবং \[ b = 3 \] হলে, \[ 4a – b \] এর মান হবে ৫
উপরের তথ্যের ভিত্তিতে নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i ও iii
গ) ii ও iii
ঘ) i, ii ও iii
ব্যাখ্যা:
i. সঠিক; কারণ \[ 5a x^2 \] এবং \[ -7x^2a \] রাশিগুলোতে সাথিরক সংখ্যা এক না হলেও পদ একেই।
ii. সঠিক নয়; কারণ \[ 3x^2 + 2x + y – 5x \] রাশিতে ৩টি পদ আছে।
iii. সঠিক; কারণ \[ a = 2, b = 3 \] হলে, \[ 4a – b = (4 \times 2) – 3 = 8 – 3 = 5 \]।
অতএব, সঠিক উত্তর: খ) i ও iii
১৪.
\[ 9x^2, 8x^2, 5y^2 \] তিনটি বীজগাণিতিক রাশি। তাহলে —
(১) রাশি তিনটির সাংখ্যিক সহগের যোগফল কত?
ক) ১৩
খ) ১৪
গ) ১৭
ঘ) ২২
ব্যাখ্যা:
\[ 9x^2, 8x^2, 5y^2 \] রাশির সাংখ্যিক সহগগুলো হলো ৯, ৮, ৫।
তাহলে, সাংখ্যিক সহগের যোগফল হলো: \[ 9 + 8 + 5 = 22 \]।
উত্তর: ঘ) ২২
(২) প্রথম দুইটি রাশির গুণফলের ঘাতের সূচক কত?
ক) ৭২
খ) ১৭
গ) ৪
ঘ) ০
ব্যাখ্যা:
গুণফল: \[ 9x^2 \times 8x^2 = 9 \times 8 \times x^{2+2} = 72x^4 \]
\[ 72x^4 \] এ \[ x \] এর ঘাতের সূচক হলো ৪।
উত্তর: গ) ৪
১৫.
\[ x^2 + y^2 + z^2, x^2 – y^2 + z^2, -x^2 + y^2 – z^2 \] তিনটি বীজগাণিতিক রাশি। এই তথ্যের ভিত্তিতে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:
(১) প্রথম দুইটি রাশির বিয়োগফলের সাথে তৃতীয় রাশি যোগ করলে নিচের কোনটি হবে?
ক) \[ -x^2 + 3y^2 – z^2 \]
খ) \[ 3x^2 – y^2 + 3z^2 \]
গ) \[ x^2 + y^2 + z^2 \]
ঘ) \[ -x^2 + 3y^2 + z^2 \]
ব্যাখ্যা:
প্রথম দুইটি রাশির বিয়োগফল:
\[ x^2 + y^2 + z^2 – (x^2 – y^2 + z^2) = 2y^2 \]
তৃতীয় রাশির সাথে যোগ করে পাই:
\[ -x^2 + y^2 – z^2 + 2y^2 = -x^2 + 3y^2 – z^2 \]
অতএব, সঠিক উত্তর: ক) \[ -x^2 + 3y^2 – z^2 \]
(২) দ্বিতীয় রাশির \[ y^2 \] এর সংখ্যা কত?
ক) ০
খ) -1
গ) 1
ঘ) 2
ব্যাখ্যা:
দ্বিতীয় রাশি: \[ x^2 – y^2 + z^2 \]
এখানে, \[ -y^2 = -1 \times y^2 \]
অতএব, \[ y^2 \] এর সংখ্যা হলো -1।
উত্তর: খ) -1
(৭) রাশি তিনটির যোগফল কত?
\[ \frac{ \begin{array}{ccccc} x^2 & + & y^2 & + & z^2 \\ x^2 & – & y^2 & + & z^2 \\ -x^2 & + & y^2 & – & z^2 \end{array} }{ \begin{array}{ccccc} x^2 & + & y^2 & + & z^2 \end{array} } \]
(৮) প্রথম দুইটি রাশির যোগফল থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল নিচের কোনটি হবে?
\[ \frac{ \begin{array}{ccccc}x^2 & + & y^2 & + & z^2 \\x^2 & – & y^2 & + & z^2 \\-x^2 & + & y^2 & – & z^2\end{array} }{ \begin{array}{ccccc} 2x^2 & + & 2z^2 \end{array} } \]
যোগ কর (১৬ – ২৫)
নিয়ম:
ধাপ-১: সঠিক পদগুলো চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে সাজাতে হবে।
ধাপ-২: যোগ করতে হবে।
(১৬) \[3a + 4b, a + 3b\]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}3a&+&4b\\a&+&3b\end{array}}{\begin{array}{ccc}4a&+&7b\end{array}}\]
উত্তর: 4a + 7b (Ans.)
১৭. \[2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 6b\]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}2a&+&3b\\3a&+&5b\\5a&+&6b\end{array}}{\begin{array}{ccc}10a&+&14b\end{array}}\]
উত্তর: 10a + 14b (Ans.)
১৮. \[4a – 3b, -3a + b, 2a + 3b\]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}4a&-&3b\\-3a&+&b\\2a&+&3b\end{array}}{\begin{array}{ccc}3a&+&b\end{array}}\]
উত্তর: 3a + b (Ans.)
১৯. \[7x + 5y + 2z, 3x – 6y + 7z, -9x + 4y + z\]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}7x&+&5y+&2z\\-3x&-&6y+&7z\\9x&+&4y+&z\end{array}}{\begin{array}{ccc}x&+&3y+&10z\end{array}}\]
উত্তর: x + 3y + 10z (Ans.)
২০. \[ x^2 + xy + z, 3x^2 – 2xy + 3z, 2x^2 + 7xy – 2z \]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিয়ে নিয়ে লিখে পাই,
\[ \frac{\begin{array}{ccc} x^2 &+& xy &+& z \\ 3x^2 &-& 2xy &+& 3z \\ 2x^2 &+& 7xy &-& 2z \end{array}}{\begin{array}{ccc} 6x^2 &+& 6xy &+& 2z \end{array}} \]
যোগফল: \[ 6x^2 + 6xy + 2z \] (Ans.)
২১. \[ 4p^2 + 7q^2 + 4r^2, p^2 + 3r^2, 8q^2 – 7p^2 – r^2 \]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিয়ে নিয়ে লিখে পাই,
\[ \frac{\begin{array}{ccc} 4p^2 &+& 7q^2 &+& 4r^2 \\ p^2 &+& 3r^2 \\ -7p^2 &+& 8q^2 &-& r^2 \end{array}}{\begin{array}{ccc} -2p^2 &+& 15q^2 &+& 6r^2 \end{array}} \]
যোগফল: \[ -2p^2 + 15q^2 + 6r^2 \] (Ans.)
২২. \[ 3a + 2b – 6c, -5b + 4a + 3c, 8b – 6a + 4c \]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিয়ে নিয়ে লিখে পাই,
\[ \frac{\begin{array}{ccc} 3a &+& 2b &-& 6c \\ 4a &-& 5b &+& 3c \\ -6a &+& 8b &+& 4c \end{array}}{\begin{array}{ccc} a &+& 5b &+& c \end{array}} \]
যোগফল: \[ a + 5b + c \] (Ans.)
২৩. \[ 2x^3 – 9x^2 + 11x + 5, -x^3 + 7x^2 – 8x – 3, -x^3 + 2x^2 – 4x + 1 \]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিয়ে নিয়ে লিখে পাই,
\[ \frac{\begin{array}{cccc} 2x^3 &-& 9x^2 &+& 11x &+& 5 \\ -x^3 &+& 7x^2 &-& 8x &-& 3 \\ -x^3 &+& 2x^2 &-& 4x &+& 1 \end{array}}{\begin{array}{ccc} -x &+& 3 \end{array}} \]
যোগফল: \[ -x + 3 \] (Ans.)
২৪. \[ 5ax + 3by – 14cz, -11by – 7ax – 9cz, 3ax + 6by – 8cz \]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিয়ে নিয়ে লিখে পাই,
\[ \frac{\begin{array}{ccc} 5ax &+& 3by &-& 14cz \\ -7ax &-& 11by &-& 9cz \\ 3ax &+& 6by &-& 8cz \end{array}}{\begin{array}{ccc} ax &-& 2by &-& 31cz \end{array}} \]
যোগফল: \[ ax – 2by – 31cz \] (Ans.)
২৫. \[ x^2 – 5x + 6, x^2 + 3x – 2, -x^2 + x + 1, -x^2 + 6x – 5 \]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিয়ে নিয়ে লিখে পাই,
\[ \frac{\begin{array}{cccc} x^2 &-& 5x &+& 6 \\ x^2 &+& 3x &-& 2 \\ -x^2 &+& x &+& 1 \\ -x^2 &+& 6x &-& 5 \end{array}}{\begin{array}{ccc} 5x \end{array}} \]
যোগফল: \[ 5x \] (Ans.)
প্রশ্ন ২৬: যদি \[a^2 = x^2 + y^2 – z^2\], \[b^2 = y^2 + z^2 – x^2\], \[c^2 = x^2 + z^2 – y^2\] হয়, তবে দেখাও যে \[a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 + z^2\]
সমাধান:
দেওয়া আছে, \[a^2 = x^2 + y^2 – z^2\],
\[b^2 = y^2 + z^2 – x^2\],
এবং
\[c^2 = x^2 + z^2 – y^2\].
বামপক্ষ:
\[a^2 + b^2 + c^2 = (x^2 + y^2 – z^2) + (y^2 + z^2 – x^2) + (x^2 + z^2 – y^2)\]
\[=(x^2 – x^2 + x^2) + (y^2 + y^2 – y^2) + (z^2 + z^2 – z^2)\]
\[a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 + z^2\]
(দেখানো হলো)
প্রশ্ন ২৭:
যদি
\[x = 5a + 7b + 9c\],
\[y = b – 3a – 4c\],
\[z = c – 2b + a\]
তাহলে দেখাও যে,
\[x + y + z = 3(a + 2b + 2c)\]
সমাধান:
দেওয়া আছে,
\[x = 5a + 7b + 9c\],
\[y = b – 3a – 4c\],
\[z = c – 2b + a\]
বামপক্ষ:
\[x + y + z = (5a + 7b + 9c) + (b – 3a – 4c) + (c – 2b + a)\]
\[= (5a – 3a + a) + (7b + b – 2b) + (9c – 4c + c)\]
\[= 3a + 6b + 6c\]
\[= 3(a + 2b + 2c)\]
(দেখানো হলো)
বিয়োগ কর (২৮ – ৩৫)
নিয়ম:
ধাপ-১: বিয়োগের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করতে হবে।
ধাপ-২: প্রথম রাশির সাথে ব্র্যাকেটবদ্ধ বিয়োগ রাশি যোগ করতে হবে।
২৮.
\[3a + 2b + c, 5a – 4b + 2c\]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে বিয়োগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}3a&+&2b&+&c\\-&5a&-&4b&+&2c\end{array}}{\begin{array}{ccc}-2a&-&2b&+&3c\end{array}}\]
উত্তর: -2a – 2b + 3c (Ans.)
২৯.
\[3ab + 6bc – 2ca, 2ab – 4bc + 8ca\]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে পরিবর্তন করে পাই,
\[-2ab + 4bc – 8ca\]
এখন, প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয়টি বিয়োজিত রাশি যোগ করলে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}3ab&+&6bc&-&2ca\\-&2ab&+&4bc&-&8ca\end{array}}{\begin{array}{ccc}ab&+&10bc&-&10ca\end{array}}\]
উত্তর: ab + 10bc – 10ca (Ans.)
৩০.
\[a^2 + b^2 + c^2, -a^2 + b^2 – c^2\]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে পরিবর্তন করে পাই,
\[a^2 – b^2 + c^2\]
এখন, প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয়টি বিয়োজিত রাশি যোগ করলে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}a^2&+&b^2&+&c^2\\-&a^2&+&b^2&-&c^2\end{array}}{\begin{array}{ccc}a^2&-&b^2&+&c^2\end{array}}\]
উত্তর: \[a^2 – b^2 + c^2\] (Ans.)
৩১.
\[4ax + 5by + 6cz, 6by + 3ax + 9cz\]
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে পরিবর্তন করে পাই,
\[-6by – 3ax – 9cz\]
এখন, প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয়টি বিয়োজিত রাশি যোগ করলে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}4ax&+&5by&+&6cz\\-&3ax&-&6by&-&9cz\end{array}}{\begin{array}{ccc}ax&-&by&-&3cz\end{array}}\]
উত্তর: \[ax – by – 3cz\] (Ans.)
৩২. \[7x^2 + 9x + 18\] থেকে \[5x + 9 + 8x^2\]
সমাধান: বিয়োগের প্রতিটি পদকে চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,
\[-5x – 9 – 8x^2\]
এখন, প্রথম রাশির সাথে সুবিন্যস্ত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}7x^2&+&9x&+&18\\-8x^2&-&5x&-&9\end{array}}{\begin{array}{ccc}-x^2&+&4x&+&9\end{array}}\]
বিয়োগফল: \[-x^2 + 4x + 9\] (Ans.)
৩৩. \[3x^3y^2 – 5x^2y^2 + 7xy + 2\] থেকে \[-x^3y^2 + x^2y^2 + 5xy + 2\]
সমাধান: বিয়োগের প্রতিটি পদকে চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,
\[x^3y^2 – x^2y^2 – 5xy – 2\]
এখন, প্রথম রাশির সাথে সুবিন্যস্ত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}3x^3y^2&-&5x^2y^2&+&7xy&+&2\\x^3y^2&-&x^2y^2&-&5xy&-&2\end{array}}{\begin{array}{ccc}4x^3y^2&-&6x^2y^2&+&2xy&+&0\end{array}}\]
বিয়োগফল: \[4x^3y^2 – 6x^2y^2 + 2xy\] (Ans.)
৩৪. \[4x^2 + 3y^2 + z\] থেকে \[-2y^2 + 3x^2 – z\]
সমাধান: বিয়োগের প্রতিটি পদকে চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,
\[2y^2 – 3x^2 + z\]
এখন, প্রথম রাশির সাথে সুবিন্যস্ত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}4x^2&+&3y^2&+&z\\-3x^2&+&2y^2&+&z\end{array}}{\begin{array}{ccc}x^2&+&5y^2&+&2z\end{array}}\]
বিয়োগফল: \[x^2 + 5y^2 + 2z\] (Ans.)
৩৫. \[x^4 + 2x^3 + x^2 + 4\] থেকে \[x^3 – 2x^2 + 2x + 3\]
সমাধান: বিয়োগের প্রতিটি পদকে চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,
\[-x^3 + 2x^2 – 2x – 3\]
এখন, প্রথম রাশির সাথে সুবিন্যস্ত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}x^4&+&2x^3&+&x^2&+&4\\-x^3&+&2x^2&-&2x&-&3\end{array}}{\begin{array}{ccc}x^4&+&x^3&+&3x^2&-&2x&+&1\end{array}}\]
বিয়োগফল: \[x^4 + x^3 + 3x^2 – 2x + 1\] (Ans.)
প্রশ্ন ৩৬:
\[যদি a = x^2 + z^2, b = y^2 + z^2, c = x^2 + y^2 হয়, তবে দেখাও যে, a + b – c = 2z^2\]
সমাধান: দেওয়া আছে, \[a = x^2 + z^2\], \[b = y^2 + z^2\] এবং \[c = x^2 + y^2\]
বামপক্ষ: \[a + b – c = (x^2 + z^2) + (y^2 + z^2) – (x^2 + y^2)\]
\[ = x^2 + z^2 + y^2 + z^2 – x^2 – y^2\]
\[ = 2z^2\]
অতএব, \[a + b – c = 2z^2\] (Ans.)
প্রশ্ন ৩৭:
\[যদি x = a + b, y = b + c, z = c + a হয়, তবে দেখাও যে, x – y + z = 2a\]
সমাধান: দেওয়া আছে, \[x = a + b, y = b + c\] এবং \[z = c + a\]
বামপক্ষ:
\[x – y + z = (a + b) – (b + c) + (c + a)\]
\[ = a + b – b – c + c + a\]
\[ = a + a\]
\[ = 2a\]
অতএব, \[x – y + z = 2a\] (দেখানো হলো)
৩৮.
যদি \[x = a + b + c\], \[y = a – b – c\], এবং \[z = b – c + a\] হয়, তবে দেখাও যে, \[x – y + z = a + 3b + c\]।
সমাধান: দেওয়া আছে, \[x = a + b + c\], \[y = a – b – c\], এবং \[z = b – c + a\]।
তাহলে,
বামপক্ষ:
\[x – y + z\]
=(a+b+c)−(a−b−c)+(b−c+a)= (a + b + c) – (a – b – c) + (b – c + a) =a+b+c−a+b+c+b−c+a= a + b + c – a + b + c + b – c + a =a+a+b+b+b+c+c−c= a + a + b + b + b + c + c – c =a+3b+c= a + 3b + c
ডানপক্ষ:
\[a + 3b + c\]
অতএব, প্রমাণিত হলো যে \[x – y + z = a + 3b + c\]। (দেখানো হলো)
৩৯.
যদি \[a^2\], \[b^2\], এবং \[c^2\] তিনটি বীজগাণিতিক রাশি হয়—
(ক) \[b^2\] এর সাধিতসংখ্যক সংখ্যা কত?
উত্তর: \[1\]
(খ) \[a^2\] এর তিনগুণের সাথে \[c^2\] এর তিনগুণ যোগ কর। উত্তর: \[3a^2 + 3c^2\]
(গ) \[a^2\] এর তিনগুণ থেকে \[b^2\] এর তিনগুণ বিয়োগ করে বিয়োগফলের সাথে \[c^2\] এর চারগুণ যোগ কর। উত্তর: \[3a^2 – 3b^2 + 4c^2\]
৪০.
(ক) \[b^2\] এর সাধিতসংখ্যক সংখ্যা কত?
উত্তর: \[1\] (Ans.)
(খ) \[a^2\] এর তিনগুণ হলো \[3a^2\], এবং \[c^2\] এর তিনগুণ হলো \[3c^2\]
তাহলে যোগফল: \[3a^2 + 3c^2\] (Ans.)
(গ)
- \[a^2\] এর তিনগুণ হলো \[3a^2\]
- \[b^2\] এর তিনগুণ হলো \[3b^2\]
তাহলে \[3a^2\] থেকে \[2b^2\] এর বিয়োগফল হবে: \[3a^2 – 2b^2\]
এবং \[c^2\] এর চারগুণ হলো \[4c^2\]
তাহলে, বিয়োগফলের সাথে \[4c^2\] যোগ করলে, যোগফল: \[(3a^2 – 2b^2) + 4c^2 = 3a^2 – 2b^2 + 4c^2\] (Ans.)
৪১.
একটি খাতার দাম x টাকা, একটি কলমের দাম y টাকা এবং একটি পেন্সিলের দাম z টাকা হলে—
(ক) ৩টি খাতা এবং ২টি কলমের মোট দাম কত?
উত্তর: \[3x + 2y\]
(খ) ৫টি খাতা এবং ৪টি পেন্সিলের মোট দাম থেকে ১০টি কলমের দাম বিয়োগ করলে কত হবে?
উত্তর: \[(5x + 4z) – 10y = 5x + 4z – 10y\]
৪০ নং প্রশ্নের সমাধান
ক
খাতার দাম \[3x\] টাকা
এবং কলমের দাম \[2y\] টাকা
এখন ৩ খাতা ও ২ টি কলমের মোট দাম \[(3x + 2y)\] টাকা
উত্তর: \[(3x + 2y)\] (Ans.)
খ
৫ টি খাতার দাম \[5x\] টাকা
এবং ৪ টি পেন্সিলের দাম \[8z\] টাকা
এখন ৫ খাতা ও ৪ টি পেন্সিলের মোট দাম \[(5x + 8z)\] টাকা
১০ টি কলমের দাম \[10y\] টাকা
এখন ৪ টি পেন্সিলের মোট দাম থেকে ১০ টি কলমের দাম বাদ দিতে হবে:
\[(5x + 8z) – 10y\]
বীজগণিতীয় রাশি:
\[(5x + 8z) – 10y\] (Ans.)
গ
\[3x\] হলে ৩ টি খাতার দাম
\[2y\] হলে ২ টি কলমের দাম
এবং \[5z\] হলে ৫ টি পেন্সিলের দাম
\[3x – 2y + 5z\] অর্থাৎ ৩ টি খাতার দাম থেকে ২ টি কলমের দাম বিয়োগ করে ৫ টি পেন্সিলের দাম যোগ:
\[3x – 2y + 5z\]
এখন \[x\], \[y\], এবং \[z\] এর সহগ সংখ্যা যথাক্রমে: \[3, -2, 5\]
এবং \[ z \] এর সহগ সংখ্যা ৫। (Ans.)
আবার, \[ 3x – 2y + 5z \] রাশিতে \[ x, y \] ও \[ z \] এর সহগ সংখ্যা যথাক্রমে \[ 3, -2, 5 \]
এদের গুণফল:
\[ 3 \times (-2) \times 5 = -30 \]
(Ans.)
প্রশ্ন ৪১:
\[ 5x^2 + xy + 3y^2, , x^2 – 8xy, , y^2 – x^2 + 10xy \]
তিনটি বীজগণিতীয় রাশি হলে—
(ক) প্রথম রাশিটির পদসংখ্যা কতটি এবং কী কী?
(খ) রাশি তিনটি যোগ কর। যোগফলের \[ xy \] এর সহগ কত?
(গ)
\[ (5x^2 + xy + 3y^2) – (x^2 – 8xy) – (y^2 – x^2 + 10xy) \]
সরল করে \[ x \] এর মান নির্ণয় কর যখন \[ x = 2 \] এবং \[ y = 1 \]।
৪১ নং প্রশ্নের সমাধান
ক)
প্রথম রাশি:
\[ 5x^2 + xy + 3y^2 \]
প্রথম রাশির পদসংখ্যা তিনটি এবং পদগুলো হলো \[ 5x^2 \], \[ xy \], এবং \[ 3y^2 \]।
খ
প্রশ্ন: \[5x^2 + xy + 3y^2, , x^2 – 8xy, , y^2 – x^2 + 10xy\] এর যোগফল কী?
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে যোগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}5x^2&+&xy&+&3y^2\\x^2&-&8xy\\y^2&-&x^2&+&10xy\end{array}}{\begin{array}{ccc}5x^2&+&3xy&+&4y^2\end{array}}\]
উত্তর: \[5x^2 + 3xy + 4y^2\] (Ans.)
গ
প্রশ্ন: \[(5x^2 + xy + 3y^2) – (x^2 – 8xy) – (y^2 – x^2 + 10xy)\]
সরল কর এবং
x=2, 𝑦 = 1 হলে মান নির্ণয় কর।
সমাধান: সঠিক পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিন্তাশক্তির ভিত্তিতে বিয়োগ করে পাই,
\[\frac{\begin{array}{ccc}5x^2&+&xy&+&3y^2\\-x^2&+&8xy\\-y^2&+&x^2&-&10xy\end{array}}{\begin{array}{ccc}5x^2&-&xy&+&2y^2\end{array}}\]
এখন
x=2 এবং y=1 বসালে পাই,
\[5(2)^2 – 2(1) + 2(1)^2 = 20 – 2 + 2 = 20\]
উত্তর: 20 (Ans.)
৪২ নং প্রশ্নের সমাধান
ক)
\[ z \] পদগুলোর সহগ সংখ্যা যথাক্রমে: \[ 1, 1, -2 \]
\[ z \] এর সহগ সংখ্যা গুণে তাদের যোগফল:
\[ 1 + 1 + (-2) = 1 + 1 – 2 = 2 – 2 = 0 \] (Ans.)
খ)
দেওয়া আছে, \[ y = a^2 + 2ab + b^2 \] এবং \[ z = a^2 + b^2 – 2ab \]
এখন,
\[ y + z = a^2 + 2ab + b^2 + a^2 + b^2 – 2ab = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2) \]
এবং
\[ y – z = (a^2 + 2ab + b^2) – (a^2 + b^2 – 2ab) = a^2 + 2ab + b^2 – a^2 – b^2 + 2ab = 4ab \] (Ans.)
গ)
দেওয়া আছে, \[ a = 3 \] এবং \[ b = -2 \]
বামপক্ষ:
\[ x = (a + b)^2 = (3 – 2)^2 = 1^2 = 1 \]
ডানপক্ষ:
\[ y = a^2 + 2ab + b^2 = (3)^2 + 2 \times 3 \times (-2) + (-2)^2 \]
\[ = 9 – 12 + 4 = 13 – 12 = 1 \]
অতএব, \[ x = y \] (প্রমাণিত)
