SSC general math 13.2 (geometric series) solution part 1

SSC general math 13.2 (geometric series) solution part 1

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়

          মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি S_n

          অর্থাৎ, S_n = 1² + 2² + 3² + ………….. + n²

                  S_n = \[ \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]

       প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়

          মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি S_n

          অর্থাৎ, S_n =  1³ + 2³ + 3³ + ………….. + n³

           S_n = \[ \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2 \]

       প্রয়োজনীয় সূত্র

          1 + 2 + 3 + …………. + n =  \[ \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\} \]

          1² + 2² + 3² + ……..  + n² = \[ \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]

          1³ + 2³ + 3³  + …. …. + n³ = \[ \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\}^2 \]

       গুণোত্তর ধারা

          কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে।  যেমন, 2 + 4 + 8 + 16 + 32 ধারাটির প্রথম পদ 2, দ্বিতীয় পদ 4, তৃতীয় পদ 8, চতুর্থ পদ 16, পঞ্চম পদ 32. এখানে, দ্বিতীয় পদের সাথে প্রথম পদের অনুপাত = \[ \frac{4}{2}\] = 2, তৃতীয় পদের সাথে দ্বিতীয় পদের অনুপাত = \[ \frac{8}{4}\] = 2, চতুর্থ পদের সাথে তৃতীয় পদের অনুপাত = \[ \frac{16}{8}\] = 2, পঞ্চম পদের সাথে চতুর্থ পদের অনুপাত = \[ \frac{32}{16}\] = 2 অনন্ত গুণোত্তর ধারা

          গুণোত্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না থাকলে সেই ধারাকে অনন্ত গুণোত্তর ধারা বলে। গুণোত্তর ধারার প্রথম পদকে সাধারণত a দ্বারা এবং সাধারণ অনুপাতকে r দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ ar, তৃতীয় পদ ar² ইত্যাদি।

          সুতরাং, ধারাটি হবে a + ar + ar² + ar³ + ……..

       গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ

          যেকোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r, তাহলে ধারাটির n তম পদ = ar^n–1

       গুণোত্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়

          মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r  এবং পদ সংখ্যা n। যদি n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n হয়, তাহলে

          S_n = \[ \frac{a(1-r^n)}{1-r} \] , যখন r < 1

          S_n = \[ \frac{a(r^n – 1)}{r – 1} \], যখন r > 1

অনুশীলনীর সমাধান

প্রশ্ন \ ১ \ a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) b = \[ \frac{c + d}{2} \]

 (খ) a = \[ \frac{b + c}{2} \]

(গ) c = \[ \frac{b + d}{2} \]

ঘে) d = \[ \frac{a + c}{2} \]

প্রশ্ন \ ২ \ i. a + (a + d) + (a + 2d) ………..ধারাটির প্রথম হ সংখ্যক পদের সমষ্টি = \[ \frac{n}{2} \] {2a + (n -1)d}

ii. \[ \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\} \]

iii.  1 + 3 + 5 + ……… + (2n -1) = n²

          উপরের বাক্যগুলোর কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii

(খ) i ও  iii

(গ) ii ও iii 

ঘে) i, ii ও iii

নিচের ধারাটির ভিত্তিতে 3 ও 4 নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও :

          log 2 + log 4 + log 8 + ………….

প্রশ্ন \ ৩ \ ধারাটির সাধারণ অন্তর কোনটি?

(ক) 2

(খ)  4

(গ) log 2

ঘে) 2log 2

প্রশ্ন \ ৪ \ ধারাটির ৭ম পদ কত?

(ক) log 32

(খ) log 64

(গ) log 128

ঘে) log 256

          ব্যাখ্যা : n তম পদ = a + (n – 1)d

                   যেহেতু, ১ম পদ, a = log 2

                   সাধারণ অন্তর, d = log 2

          ∴ 7 তম পদ = log 2 + (7 – 1) log 2 = log 2 + 6log 2 = 7log 2

                             = log 2⁷ = log 128

প্রশ্ন \ ৫ \ 64 + 32 + 16 + 8 +………. ধারাটির অষ্টম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি 64 + 32 + 16 + 8 +……….

          এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ, a = 64

          এবং সাধারণ অনুপাত, r = \[ \frac{32}{64} = \frac{1}{2} \]

          ∴ n তম পদ = ar^n–1

                  ∴ ধারাটির অষ্টম পদ = \[ 64.\left(\frac12\right)^{8-1}\\\\=64.\left(\frac12\right)^7\\\\=64.\frac1{128}\\\\=\frac12 \]

প্রশ্ন \ ৬ \ 3 + 9 + 27 + …….. ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি  3 + 9 + 27 + ……..

          এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ, a = 3

          এবং সাধারণ অনুপাত r = \[ \frac93\] = > 1; পদ সংখ্যা n = 14

          আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,

          S_n = \[ \frac{a(r^n – 1)}{r – 1} \],  যেখানে r > 1.

          ∴ ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি, S₁₄   = \[ \frac{3\left\{\left(3\right)^{14}-1\right\}}{3-1}\\\\=\frac32\left(3^{14}-1\right) \] (Ans.)

প্রশ্ন \ ৭ \ 128 + 64 + 32 + ……….. ধারাটির কোন পদ \[ \frac12\] ?

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 128 + 64 + 32 + ………..

          এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ, a = 128

          এবং সাধারণ অনুপাত, r = \[ \frac {64}{128} = \frac12\] < 1

          আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^n–1

          মনে করি, ধারাটির n তম পদ \[ \frac12\]

            ar^n–1 = \[ \frac12\]

          বা, \[ 128.\left(\frac12\right)^{n-1}=\frac12 \]

          বা, \[ \left(\frac12\right)^{n-1}=\frac1{2\times128} \]

          বা, \[ \left(\frac12\right)^{n-1}=\frac1{256} \]

          বা, \[ \left(\frac12\right)^{n-1}=\left(\frac12\right)^8 \]

          বা, n – 1 = 8

          বা, n = 8 + 1

          ∴ n = 9

          ∴ ধারাটির নবম পদ \[ \frac12\] (Ans.)

প্রশ্ন \ ৮ \ একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ \[ \frac{2\sqrt3}9 \] এবং দশম পদ \[ \frac{8\sqrt2}{81} \]  হলে, ধারাটির তৃতীয় পদ নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a

          এবং সাধারণ অনুপাত = r

          ∴ 5 তম পদ = ar^{5 – 1} = ar⁴

          এবং 10 তম পদ = ar^{10 – 1} = ar⁹

          প্রশ্নমতে,

                   ar⁴ = \[ \frac{2\sqrt3}9 \]   … … … … … (i)

          এবং     ar⁹ = \[ \frac{8\sqrt2}{81} \]    … … … … … (ii)

          সমীকরণ (ii) কে (i) দ্বারা ভাগ করি,

                   \[ \frac{ar^9}{ar^4}=\frac{\frac{8\sqrt2}{81}}{\displaystyle\frac{2\sqrt3}9} \]  

          বা,       \[ r^{9-4}=\frac{8\sqrt2}{81}\times\frac9{2\sqrt3} \]  

          বা,       \[ r^5=\frac{4\sqrt2}{9\sqrt3}=\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^5 \]  

          ∴      r = \[ r=\frac{\sqrt2}{\sqrt3} \]  

          সমীকরণ (i) এ r এর মান বসিয়ে পাই,

                   \[ a.\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^4=\frac{2\sqrt3}9 \]  

          বা,       \[ a.\left\{\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^2\right\}^2=\frac{2\sqrt3}9 \]  

          বা,       \[ a\times\frac49=\frac{2\sqrt3}9 \]  

          বা,       \[ a=\frac{2\sqrt3}9\times\frac94 \]  

∴ \[ a=\frac{\sqrt3}2 \]  

          ∴ তৃতীয় পদ = ar^{3 –1} = ar² =  \[ \frac{\sqrt3}2\times\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\right)^2 \]  

     = \[ \frac{\sqrt3}2\times\frac23\\\\=\frac{\sqrt3}3 \]  

    = \[ \frac{\sqrt3}{\sqrt3.\sqrt3}\\\\=\frac1{\sqrt3} \]    

          নির্ণেয় তৃতীয় পদ \[ \frac1{\sqrt3} \]

প্রশ্ন \ ৯ \ \[ \frac1{\sqrt2}, – 1 , \sqrt2 \], … … … ধারাটির কোন পদ \[ 8\sqrt2 \] ?

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি \[ \frac1{\sqrt2}, – 1 , \sqrt2 \], … … …

          ধারাটির যেকোনো পদ ও তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত = – \[ \sqrt2 \]

          ∴ এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

          ধারার প্রথম পদ, a = \[ \frac1{\sqrt2}\]

          সাধারণ অনুপাত, r = \[ \frac{-1}{\displaystyle\frac1{\sqrt2}}=-\sqrt2 \]  

          আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^n–1

          মনে করি, ধারাটির n তম পদ = ৮২

          প্রশ্নমতে, ar^n–1 = \[ 8\sqrt2 \]

          বা, \[ \frac1{\sqrt2}\left(-\sqrt2\right)^{n-1}=8\sqrt2 \]

          বা, \[ \left(-\sqrt2\right)^{n-1}=8\sqrt2\times\sqrt2 \]

          বা, \[ \left(-\sqrt2\right)^{n-1}=8\times2 \]

          বা, \[ \left(-\sqrt2\right)^{n-1}=16 \]

          বা, \[ \left(-\sqrt2\right)^{n-1}=\left(-\sqrt2\right)^8 \]

          বা n – 1 = 8

          ∴ n = 9

           অতএব, প্রদত্ত ধারাটির ৯ম পদ \[ 8\sqrt2 \] (Ans.)

প্রশ্ন \ ১০ \ 5 + x + y + 135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি, 5 + x + y + 135 ………… একটি গুণোত্তর ধারা

          এখানে, প্রথম পদ, a = 5

          ধরি, সাধারণ অনুপাত = r

          ∴ চতুর্থ পদ, ar^{4 – 1} = 135 [প্রশ্নানুসারে]

                      বা, 5.r³ = 135

                      বা, r³ = \[ \frac{135}{5} \] = 27

                      বা, r³ = (3)³

                          r = 3

          দ্বিতীয় পদ, ar^{2 – 1} = x

          বা,       ar = x

          বা,       5 × 3 = x  [∵ a = 5 এবং r = 3]

          ∴      x = 15

     তৃতীয় পদ, ar^{3 – 1} = y

          বা,       ar2 = y

          বা,       5 × 3² = y   [∵ a = 5 এবং r = 3]

          বা,       5 × 9 = y

          ∴      y = 45

          নির্ণেয় x ও y এর মান যথাক্রমে 15 ও 45

প্রশ্ন \ ১১ \ 3 + x + y + z + 243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে x, y এবং z এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 3 + x + y + z + 243 একটি গুণোত্তর ধারা

          এখানে, প্রথম পদ a = 3

          ধরি, সাধারণ অনুপাত = r

          ∴ পঞ্চম পদ, ar^{5 – 1} = 243 [প্রশ্নানুসারে]

                   বা, 3.r⁴  = 243

                   বা, r⁴ = \[ \frac{243}{3} \]  = 81

                   বা, r⁴ = (3)⁴

                    ∴ r = 3

          দ্বিতীয় পদ, ar^{2 – 1} = x

                   বা, 3.r = x [∵ a = 3]

                   বা, 3.3 = x [∵ r = 3]

                   ∴ x = 9

          তৃতীয় পদ, ar^{3 – 1} = y

                   বা, 3.3² = y [∵ a = 3, r = 3]

                   বা, 27 = y

                  ∴ y = 27

          চতুর্থ পদ, ar^{4 – 1} = z

                   বা, 3.3^{4 – 1} = z [∵ a = 3, r = 3]

                   বা, 3.3³ = z

                   বা, 3.27 = z

                  ∴ z = 81

          নির্ণেয় x, y ও z এর মান যথাক্রমে 9, 27 ও 81

প্রশ্ন  \ ১২ \ 2 – 4 + 8 – 16 + ………. ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটি 2 – 4 + 8 – 16 + ………. একটি গুণোত্তর ধারা।

          ধারাটির প্রথম পদ, a = 2

                   সাধারণ অনুপাত, r = – \[ \frac{4}{2} \]    = – 2 < 1

                   পদ সংখ্যা, n = 7

          গুণোত্তর ধারার প্রথম হ পদের সমষ্টি, S_n = \[ \frac{a(1-r^n)}{1-r} \]

          ∴সাতটি পদের সমষ্টি, S₇ = \[ \frac{2\left\{1-\left(-2\right)^7\right\}}{1-\left(-2\right)};r<1\\\\=\frac{2\left(1+128\right)}{1+2}\\\\=\frac{2\times129}3\\\\=2\times43\\\\=86 \]

প্রশ্ন \ ১৩ \ 1 – 1 + 1 – 1 + ……… ধারাটির (2n + 1) সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারা, 1 – 1 + 1 – 1 + ………

                   এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

          ধারাটির প্রথম পদ, a = 1

          সাধারণ অনুপাত, r = – \[ \frac{1}{1} \]    = – 1 < 1

          পদ সংখ্যা = 2n + 1

          আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম হ পদের সমষ্টি,

                   S_n = \[ \frac{a(1-r^n)}{1-r} \]; r < 1

          ∴ প্রদত্ত ধারার ১ম  (2n + 1) পদের সমষ্টি = a ×  \[ \frac{1-r^{2n+1}}{1-r} \]

                   = \[ \frac{1\left\{1-\left(-1\right)^{2n+1}\right\}}{1-\left(-1\right)} \]  [মান বসিয়ে]

                   = \[  \frac{1-\left\{\left(-1\right)^{2n}.\left(-1\right)\right\}}{1+1}=\frac{1+1}2=\frac22=1 \]

          নির্ণেয় সমষ্টি 1.

প্রশ্ন \ ১৪ \ log 2 + log 4 + log 8 + ……. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?     

সমাধান : মনে করি, ধারাটির সমষ্টি = S₁₀

          ∴ S₁₀ = log 2 + log 4 + log 8 + ……দশম পদ পর্যন্ত

                   = log 2 + log 2² + log 2³ + …… দশম পদ পর্যন্ত

          ∴ প্রদত্ত ধারাটি নিম্নলিখিতভাবে লেখা যায়,

     S₁₀ = log 2 + log 2² + log 2³ + … … + log 2¹⁰

         = log 2 + 2 log 2 + 3 log 2 + … … + 10 log 2

         = (1 + 2 + 3 + …….. + 10) log 2

          = \[\frac{10\left(10+1\right)}2\log2 \]  log 2  [∵1 + 2 + 3 + …………. + n =  \[ \left\{\frac{n\left(n+1\right)}2\right\} \]]

          =\[ \frac{10\times11}2\;\log2\\\\=55\;\log2 \]

          নির্ণেয় সমষ্টি 55 log 2..

প্রশ্ন \ ১৫ \ log2 + log16 + log512 + ………. ধারাটির প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ধারাটির সমষ্টি = S₁₂

          ∴ S₁₂ = log2 + log16 + log512 + ………. দ্বাদশ পদ পর্যন্ত

                   = log 2 + log 2⁴ + log 2⁹ + ………. দ্বাদশ পদ পর্যন্ত

                   = log 2 + 4 log 2+ 9log 2+ …….. দ্বাদশ পদ পর্যন্ত

                   = (1 + 4 + 9 + ……. + 12)log 2

                   = (1² + 2² + 3² + 12²) log 2

                   = \[ \left\{\frac{12\left(12+1\right)\left(2.12+1\right)}6\right\}\;\log\;2 [∵ \] 1² + 2² + 3² + ……..  + n² = \[ \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\]]

                   = (2 × 13 × 25) log 2 = 650 log 2

          নির্ণেয় সমষ্টি 650log 2

SSC general math 13.2 (geometric series) solution part 2