SSC/Class 9 10 math exercise 9.1 solution : Trigonometry

SSC/Class 9 10 math exercise 9.1 solution : Trigonometry

ত্রিকোণমিতি : ‘ত্রিকোণ’ শব্দটি দ্বারা তিনটি কোণ বোঝায় আর ‘মিতি’ শব্দটির অর্থ পরিমাপ বোঝায়। ইংরেজিতে ত্রিকোণমিতিকে Trigonometry বলা হয় ‘Trigon’ গ্রিক শব্দটির অর্থ তিনটি কোণ বা ত্রিভুজ এবং “metry” শব্দের অর্থ পরিমাপ।

          অর্থাৎ, গণিতের যে শাখায় ত্রিভুজ সংক্রান্ত বিভিন্ন পরিমাপ সম্পর্কে বিশেষভাবে আলোচনা করা হয় তাকে ত্রিকোণমিতি বলে।

  সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর নামকরণ   :

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো অতিভুজ, ভ‚মি ও উন্নতি নামে অভিহিত হয়। আবার, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটির সাপেক্ষে অবস্থানের প্রেক্ষিতেও বাহুগুলোর নামকরণ করা হয়। যথা :

          ক.      ‘অতিভুজ’, সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু যা সমকোণের বিপরীত বাহু

          খ.      ‘বিপরীত বাহু’, যা হলো প্রদত্ত কোণের সরাসরি বিপরীত দিকের বাহু

          গ.      ‘সন্নিহিত বাহু’, যা প্রদত্ত কোণ সৃষ্টিকারী একটি রেখাংশ।

∠PON  কোণের জন্য অতিভুজ OP, ∠OPN  কোণের জন্য অতিভুজ OP, সন্নিহিত বাহু ON, বিপরীত বাহু PN, সন্নিহিত বাহু PN, বিপরীত বাহু ON

          জ্যামিতিক চিত্রের শীর্ষবিন্দু চিহ্নিত করার জন্য বড় হাতের বর্ণ ও বাহু নির্দেশ করতে ছোট হাতের বর্ণ ব্যবহার করা হয়। কোণ নির্দেশের জন্য প্রায়শই গ্রিক বর্ণ ব্যবহৃত হয়। গ্রিক বর্ণমালার ছয়টি বহুল ব্যবহৃত বর্ণ হলো :

          প্রাচীন গ্রিসের বিখ্যাত সব গণিতবিদদের হাত ধরেই জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতিতে গ্রিক বর্ণগুলো ব্যবহার হয়ে আসছে।

সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত : সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নিম্নোক্তভাবে বর্ণনা করা হয় :

          সূক্ষ্মকোণের দুইটি বাহু থাকে এবং প্রত্যেকটি বাহুর মধ্যে অসংখ্য বিন্দু কল্পনা করা হয়। প্রতিটি বিন্দু থেকে অপর বাহুটির উপর
লম্ব টানলে এক একটি সমকোণী ত্রিভুজের
সৃষ্টি হয়। সমকোণী ত্রিভুজের বিপরীত বাহুটিকে
অতিভুজ, নির্দিষ্ট সূক্ষ্মকোণটির বিপরীত বাহুটিকে
লম্ব এবং অপর একটি বাহুকে ভ‚মি বলা হয়।      

সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের চিত্রগত ব্যাখ্যা :

মনে করি, ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ। OA বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু P নিই। P থেকে OX বাহু পর্যন্ত PM লম্ব টানি। তাতে সমকোণী ত্রিভুজ POM গঠিত হলো। এই ∆POM এর PM, OM ও OP বাহুগুলোর যে ছয়টি অনুপাত পাওয়া যায় তাদের ∠XOA এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয় এবং তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সুনির্দিষ্ট নামে নামকরণ করা হয়।       

     ∠XOA সাপেক্ষে সমকোণী ত্রিভুজ POM-এর PM বাহুকে লম্ব, OM বাহুকে ভূমি, OP বাহুকে অতিভুজ ধরা হয়। এখন, ∠XOA = θ ধরলে θ কোণের যে ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পাওয়া যায় তা বর্ণনা করা হলো।

\frac{PM}{OP} = \frac{লম্ব}{ অতিভুজ} = θ কোণের সাইন (sine) বা সংক্ষেপে sinθ.

\frac{OM}{OP} = \frac{ভূমি}{ অতিভুজ} = θ কোণের সাইন (cosine) বা সংক্ষেপে cosθ.

\frac{PM}{OM} = \frac{লম্বভূ}{ভূমি} = θ কোণের সাইন (tangent) বা সংক্ষেপে tanθ.

\frac{OM}{PM} = \frac{ ভূমি}{লম্ব} = θ কোণের সাইন (cotangent) বা সংক্ষেপে cotθ.

\frac{OP}{OM} = \frac{অতিভুজ}{ভূমি} = θ কোণের সাইন (secant) বা সংক্ষেপে secθ.

\frac{OP}{PM} = \frac{ অতিভুজ }{লম্ব} = θ কোণের সাইন (cosecant) বা সংক্ষেপে cosecθ.

[দ্রষ্টব্য : (θ) থেটা একটি গ্রিক অক্ষর, এখানে যা একটি কোণের পরিমাপ নির্দেশ করে]

সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মধ্যে সম্পর্ক :

          মনে করি, θ = ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ।

          পাশের চিত্র সাপেক্ষে, সংজ্ঞানুযায়ী,

sinθ = \frac{PM}{OP}

cosθ = \frac{OM}{OP}

tanθ = \frac{PM}{OM}

cotθ = \frac{OM}{PM}

secθ = \frac{OP}{OM}

cosecθ = \frac{OP}{PM}

1. sinθ . cosecθ = \frac{PM}{OP}. \frac{OP}{PM} = 1

∴ sinθ = \frac{1}{cosecθ}  এবং cosecθ = \frac{1}{sinθ} 

2. cosθ . secθ = \frac{OM}{OP}. \frac{OP}{OM} = 1

∴ cosθ = \frac{1}{secθ}  এবং secθ = \frac{1}{cosθ} 

3. tanθ . cotθ = \frac{PM}{OM}. \frac{OM}{PM} = 1

∴ tanθ = \frac{1}{cotθ}  এবং cotθ = \frac{1}{tanθ} 

4. tanθ = \frac{PM}{OM} = \frac{\frac{PM}{OP}}{\frac{OM}{OP}} [লব ও হরকে OP দ্বারা ভাগ করে]

∴ tanθ = \frac{sinθ}{cosθ} 

এবং একইভাবে, cotθ = \frac{cosθ}{sinθ} 

ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি পিথাগোরাসের প্রতিজ্ঞা ব্যবহার করে যে সম্পর্ক পাওয়া যায় তা হলো :

1. sin²θ + cos²θ = 1

বা, cos²θ = 1 – sin²θ

বা, sin²θ = 1 – cos²θ    

2. 1 + tan²θ = sec²θ

বা, sec²θ – tan²θ = 1                                   

3. 1 + cot²θ = cosec²θ

বা, cosec²θ – cot²θ  = 1

sin এবং cos এর মধ্যে সম্পর্ক :

অথবা ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সাহায্যে প্রমাণ কর যে,  sin²θ + cos²θ  = 1

প্রমাণ :  মনে করি, θ = ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ।

PM ⊥ OX

সুতরাং, ∆POM সমকোণী।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের সূত্র হতে আমরা জানি,

(অতিভুজ)^2 = (লম্ব)^2 + (ভূমি)^2

এখন, ∆OPM এ,

অতিভুজ = OP, লম্ব = PM এবং ভূমি = OM 

OP^2 = PM^2 + OM^2

বা,      \frac{OP^2}{OP^2} = \frac{PM^2}{OP^2}  + \frac {OM^2}{OP^2} [উভয়পক্ষকে OP^2 দ্বারা ভাগ করে]

বা,      1 = (\frac{PM}{OP})^2  + (\frac {OM}{OP})^2

বা,      1 = (sinθ)^2 + (cosθ)^2

বা,      1 = sin^2θ + cos^2θ

∴       1 = sin^2θ + cos^2θ [প্রমাণিত]

 sec θ এবং tanθ এর মধ্যে সম্পর্ক : sec^2θ – tan^2θ

প্রমাণ : মনে করি, θ = ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ।

PM ⊥ OX

সুতরাং, ∆POM সমকোণী।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের সূত্র হতে আমরা জানি,

(অতিভুজ)^2 = (লম্ব)^2 + (ভূমি)^2

এখন, ∆OPM এ,

অতিভুজ = OP, লম্ব = PM এবং ভূমি = OM

OP^2 = PM^2 + OM^2

বা,  OP^2 – PM^2  = OM^2

বা,      \frac{OP^2}{OM^2} – \frac{PM^2}{OM^2}  = \frac {OM^2}{OM^2} [উভয়পক্ষকে latex]OM^2 [/latex] দ্বারা ভাগ করে]

বা,  (\frac{OP}{OM})^2  – (\frac {PM}{OM})^2 = 1

∴ sec^2θ – tan^2θ = 1 [প্রমাণিত]

cosec θ এবং cotθ এর মধ্যে সম্পর্ক : cosec^2θ – cot^2θ

প্রমাণ : মনে করি, θ = ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ।

PM ⊥ OX

সুতরাং, ∆POM সমকোণী।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের সূত্র হতে আমরা জানি,

(অতিভুজ)^2 = (লম্ব)^2 + (ভূমি)^2

এখন, ∆OPM এ,

অতিভুজ = OP, লম্ব = PM এবং ভূমি = OM

OP^2 = PM^2 + OM^2

বা,  OP^2 – OM^2  = PM^2

বা,      \frac{OP^2}{PM^2} – \frac{OM^2}{PM^2}  = \frac {PM^2}{PM^2} [উভয়পক্ষকে PM^2 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  (\frac{OP}{PM})^2  – (\frac {OM}{PM})^2 = 1

∴ cosec^2θ – cot^2θ = 1 [প্রমাণিত]

প্রশ্ন \ ১ \ নিচের গাণিতিক উক্তিগুলোর সত্য-মিথ্যা যাচাই কর। তোমার উত্তরের পক্ষে যুক্তি দাও।

(ক)    tanA এর মান সর্বদা 1 এর চেয়ে কম।

সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা।

          যুক্তি : যখন A = 45⁰, তখন tanA এর মান tan 45⁰ = 1। আবার, যখন A = 60⁰ তখন tanA এর মান

          tan 60⁰ = \sqrt{3} = 1.732>1

          অর্থাৎ tanA এর মান 1 অথবা 1 অপেক্ষা বেশিও হতে পারে।

(খ)     cotA হলো cot ও A এর গুণফল।

সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা।

          যুক্তি : পড়ঃঅ দ্বারা একটি কোণের পরিমাপকে বুঝানো হয়।

          A বাদে cot এর আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না।

(গ)    A এর কোন মানের জন্য secA = \frac{12}{5}

সমাধান : দেওয়া আছে, secA = \frac{12}{5}

          বা,  secA = \frac{1}{cosA} = \frac{12}{5}

          বা, cosA = \frac{12}{5} = cos65.37⁰

[ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

            ∴ A = 65.37⁰ = 65.37⁰

          নির্ণেয় A এর মান 65.37⁰

(ঘ)     Cos হলো cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ।

সমাধান : উক্তিটি মিথ্যা।

          যুক্তি : cotangent এর সংক্ষিপ্ত রূপ হলো cot

          এবং cosine  এর সংক্ষিপ্ত রূপ হলো cos ।

প্রশ্ন \ ২ \  sinA = \frac34 হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, sinA = \frac34

          অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু BC = 3 এবং অতিভুজ AC = 4

          ∴      AB = \sqrt{AC^2 – BC^2}

                            = \sqrt{4^2 – 3^2}

                            = \sqrt{16 – 9}

                           = \sqrt{7}

            ∴      cosA = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{7}}{4}          

            ∴   tanA = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{\sqrt{7}}     

            ∴   cotA = \frac{1}{tanA} = \frac{\sqrt{7}}{3}    

            ∴  secA = \frac{1}{cosA} = \frac{4}{\sqrt{7}}

            ∴      cosecA = \frac{1}{sinA} = \frac{4}{3}

প্রশ্ন \ ৩ \  দেওয়া আছে, 15 cotA = 8, sinA ও secA এর মান বের কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, 15 cotA = 8

            ∴ cotA = \frac{8}{15}

          অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু BC = 15

        সন্নিহিত বাহু AB = 8

          অতিভুজ AC = \sqrt{(15)^2 + 8^2}

                             = \sqrt{225 + 64}

                             = \sqrt{289}

                             = 17

            ∴ sinA = \frac{15}{17} ও secA = \frac{17}{8}

          নির্ণেয় মান, \frac{15}{17}  ও \frac{17}{8}

প্রশ্ন \ ৪ \ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ, AB = 13 সে.মি., BC = 12 সে.মি. এবং ∠ABC = θ হলে, sinθ, cosθ ও tanθ এর মান বের কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠C সমকোণ।

          AB = 13 সে.মি., BC = 12 সে.মি.  এবং ∠ABC = θ

          পিথাগোরাসের উপাপাদ্য হতে পাই,

          AB² = AC² + BC²

বা, AC² = AB² – BC²

বা, AC² = (13)² – (12)²

বা,  AC² = 169 – 144

বা, AC² = 25

বা,  AC = \sqrt{25}

            ∴      AC = 5

            ∴      sinθ = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13}

          cosθ = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}

          এবং tanθ = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}

          নির্ণেয় মান \frac{5}{13},\frac{12}{13},\frac{5}{12}

প্রশ্ন \ ৫ \  ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ।

tanA = \sqrt{3}  হলে, \sqrt{3} sinAcosA = \frac{3}{4}   এর সত্যতা যাচাই কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, tanA = \sqrt{3}  

          অতএব, লম্ব = \sqrt{3}  

          এবং ভূমি = 1

          ∴ অতিভুজ = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} 

= \sqrt{3+ 1}  

= \sqrt{4}  

= 2

          ∴ sinA = \frac{\sqrt{3}}{2}

          এবং  cosA = \frac{1}{2}

          বামপক্ষ = \sqrt{3}.sinA cosA 

          = \sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{2}

 [মান বসিয়ে]

          = \frac{3}{4}

 = ডানপক্ষ

সুতরাং \sqrt{3}.sinA cosA = \frac{3}{4} বাক্যটি সত্য।

৬।(i) \frac{1}{ sec^2A} + \frac{1}{ cosec^2A} = 1

সমাধান: 

বামপক্ষ = \frac{1}{ sec^2A} + \frac{1}{ cosec^2A}

              = \frac{1}{( \frac{1}{cosA})^2} + \frac{1}{ (\frac{1}{sinA})^2}

             = cos^2A + sin^2A

             = 1

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ(প্রমাণিত)

(ii) \frac{1}{ cos^2A} – \frac{1}{ cot^2A} = 1

সমাধান:

বামপক্ষ: \frac{1}{ cos^2A} – \frac{1}{ cot^2A}

= (\frac{1}{ cosA})^2 – (\frac{1}{ cotA})^2

= sec^2A –  tan^2A}

= 1 + tan^2A –  tan^2A}

= 1

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ(প্রমাণিত)

(iii) \frac{1}{ sin^2A} – \frac{1}{ tan^2A} = 1

সমাধান:

বামপক্ষ: \frac{1}{ sin^2A} – \frac{1}{ \frac{sin^2A}{cos^2A}}

                = \frac{1}{ sin^2A} – \frac{cos^2A}{sin^2A}}

                = \frac{1 – cos^2A}{ sin^2A}

                = \frac{sin^2A}{ sin^2A}       [1 – cos^2A = sin^2A]

                = 1

= ডানপক্ষ

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ(প্রমাণিত)

২য় অংশের সমাধান লিংক