class 9 – 10: SSC general math ex 4.2 solution

class 9 – 10: SSC general math ex 4.2 solution

লগারিদম (Logarithm)

       a^x = N, (a > 0, a ≠ 1) হলে, x = log_aN কে N এর a ভিত্তিক লগ বলা হয়।

            সূচকীয় রাশির মান বের করতে লগারিদম ব্যবহার করা হয়। লগারিদমকে সংক্ষেপে লগ (Log) লেখা হয়। বড় বড় সংখ্যা বা রাশির গুণফল, ভাগফল ইত্যাদি Log এর সাহায্যে সহজে নির্ণয় করা যায়।

            আমরা জানি, 2³ = 8 এই গাণিতিক উক্তিটিকে লগের মাধ্যমে লেখা হয় log₂8 = 3× আবার, বিপরীতক্রমে, log₂8 = 3 হলে, সূচকের মাধ্যমে লেখা যাবে 2³ = 8; অর্থাৎ log₂8 = 3; হলে log₂8 = 3 এবং বিপরীতক্রমে, log₂8 = 3 হলে 2³ = 8 একইভাবে  \[2^{-3}= \frac{1}{2^3}= \frac18\] কে লগের মাধ্যমে লেখা যায়, \[ \log_2\frac18=-3 \]

Formula or Rules or laws of  Logarithm

\[ Rule:1:\log_a\left(M.N\right)=\log_aM+\log_aN\\\\Rule:2:\log_a\left(\frac MN\right)=\log_aM-\log_aN\\\\Rule:3:\log_a\left(M^k\right)=k\log_aM\\\\Rule:4:\log_a\left(1\right)=0\\\\Rule:5:\log_a\left(a\right)=1\\\\Rule:6:\log_a\left(a^k\right)=k\\\\Rule:7:a^{\log_a\left(k\right)}=k\\\\ \]

যেখানে, b>0 কিন্তু  b ≠ 0 এবং M, N এবং  k বাস্তব সংখ্যা কিন্তু M এবং N অবশ্যই ধনাত্মক।

প্রশ্ন \ ১ \ মান নির্ণয় কর :

(ক) \[ \log_3\left(81\right) \]

সমাধান : \[ \log_3\left(81\right)\\\\=\log_3\left(3\right)^4\\\\=4\log_3\left(3\right)\;\lbrack\log_a\left(M\right)^r=r\log_a\left(M\right)\rbrack\\\\=4\times1\lbrack\log_a\left(a\right)=1\rbrack\\\\=4 \]      

(খ)     \[ \log_5\left(\sqrt[3]5\right) \]    

সমাধান : \[ \log_5\left(\sqrt[3]5\right)\\\\=\log_5\left(5\right)^\frac13\\\\=\frac13\log_5\left(5\right)\\\\=1 \]      

(গ)     \[ \log_4\left(2\right) \]        

সমাধান : \[ \log_4\left(2\right)\\\\=\log_4\left(\sqrt4\right)\\\\=\log_4\left(4\right)^\frac12\\\\=\frac12\log_4\left(4\right)\\\\=\frac12 \]      

(ঘ)     \[ \log_{2\sqrt5}\left(400\right) \]

সমাধান : \[ \log_{2\sqrt5}\left(400\right)\\\\=\log_{2\sqrt5}\left(2\sqrt5\right)^4\\\\=4\log_{2\sqrt5}\left(2\sqrt5\right)\\\\=4\times1\\\\=4 \]      

(ঙ)     \[ \log_5\left(\sqrt[3]5.\sqrt5\right) \]  

সমাধান : \[ \log_5\left(\sqrt[3]5.\sqrt5\right)\\\\=\log_5\left(5^\frac13.5^\frac12\right)\\\\=\log_5\left(5^{\frac13+\frac12}\right)\\\\=\log_5\left(5^\frac{2+3}6\right)\\\\=\log_5\left(5^\frac56\right)\\\\=\frac56\log_5\left(5\right)\\\\=\frac56\times1\\\\=1 \]      

প্রশ্ন \ ২ \ x এর মান নির্ণয় কর :

(ক)     log₅x = 3

সমাধান : log₅x = 3

                 ∴ x = (5)³

                 = 125

(খ)     log_x25 = 2

সমাধান : log_x25 = 2

∴ x² = 25

বা, x² = (5)²  

           ∴ x = 5  (Ans.)

 (গ)    \[ \log_x\left(\frac1{16}\right)=-2 \]      

সমাধান : \[ \log_x\left(\frac1{16}\right)=-2\\\\or,x^{-2}=\frac1{16}\\or,x^{-2}=\frac1{4^2}\\or,x^{-2}=4^{-2}\\or,x\;=\;4 \]                

প্রশ্ন \ ৩ \ দেখাও যে,

(ক) \[ 5\log_{10}\left(5\right)-\log_{10}\left(25\right)=\log_{10}\left(125\right) \]       

সমাধান : বামপক্ষ = \[ 5\log_{10}\left(5\right)-\log_{10}\left(25\right)\\\\=\log_{10}\left(5^5\right)-\log_{10}\left(25\right)\\\\=\log_{10}\left(5^5\right)-\log_{10}\left(5^2\right)\\\\=\log_{10}\left(\frac{5^5}{5^2}\right)\lbrack\log_a\left(\frac MN\right)=\log_a\left(M\right)-\log_a\left(N\right)\rbrack\\\\=\log_{10}\left(5^{5-2}\right)\\\\=\log_{10}\left(5^3\right)\\\\=\log_{10}\left(125\right) \]                      

(খ)     \[ \log_{10}\left(\frac{50}{147}\right)=\log_{10}\left(2\right)+2\log_{10}\left(5\right)-\log_{10}\left(3\right)-2\log_{10}\left(7\right) \]  

সমাধান : এখানে, 50 = 2 × 25 = 2 × 5 × 5 = 2 × 5²

             এবং 147 = 3 × 49 = 3 × 7 × 7 = 3 × 7²

                   বামপক্ষ = \[ \log_{10}\left(\frac{50}{147}\right)\\\\=\log_{10}\left(50\right)-\log_{10}\left(147\right)\\\\=\log_{10}\left(2\times5^2\right)-\log_{10}\left(3\times7^2\right)\\\\=\log_{10}\left(2\right)+\log_{10}\left(5^2\right)-\left(\log_{10}\left(3\right)+\log_{10}\left(7^2\right)\right)\\\\=\log_{10}\left(2\right)+2\log_{10}\left(5\right)-\log_{10}\left(3\right)-2\log_{10}\left(7\right)\\ \]         

                              = ডানপক্ষ

          ∴ \[ \log_{10}\left(\frac{50}{147}\right)=\log_{10}\left(2\right)+2\log_{10}\left(5\right)-\log_{10}\left(3\right)-2\log_{10}\left(7\right) \] (দেখানো হলো)

(গ) 3log₁₀2 + 2log₁₀3 + log₁₀5 = log₁₀360

সমাধান : বামপক্ষ = 3log₁₀2 + 2log₁₀3 + log₁₀5 = log₁₀360

                    = log₁₀2³ + log₁₀3² + log₁₀5

                   = log₁₀ (2³.3².5)

                   = log₁₀ (8 . 9 . 5)

                   = log₁₀360

                 = ডানপক্ষ

3log₁₀2 + 2log₁₀3 + log₁₀5 = log₁₀360  (দেখানো হলো)

প্রশ্ন \ ৪ \ সরল কর :

(ক)     \[ 7\log_{10}\left(\frac{10}9\right)-2\log_{10}\left(\frac{25}{24}\right)+3\log_{10}\left(\frac{81}{80}\right) \]         

সমাধান : \[ 7\log_{10}\left(\frac{10}9\right)-2\log_{10}\left(\frac{25}{24}\right)+3\log_{10}\left(\frac{81}{80}\right)\\\\=\log_{10}\left(\frac{10}9\right)^7-\log_{10}\left(\frac{25}{24}\right)^2+\log_{10}\left(\frac{81}{80}\right)^3\\\\=\log_{10}\left\{\left(\frac{10}9\right)^7\div\left(\frac{25}{24}\right)^2\times\left(\frac{81}{80}\right)^3\right\}\\\\=\log_{10}\left\{\left(\frac{10}9\right)^7\times\left(\frac{24}{25}\right)^2\times\left(\frac{81}{80}\right)^3\right\}\\\\=\log_{10}\left\{\left(\frac{5\times2}{3\times3}\right)^7\times\left(\frac{3\times8}{5\times5}\right)^2\times\left(\frac{3\times3\times3\times3}{2\times2\times2\times2\times2\times5}\right)^3\right\}\\\\=\log_{10}\left\{\left(\frac{5\times2}{3^2}\right)^7\times\left(\frac{3\times2^3}{5^2}\right)^2\times\left(\frac{3^4}{2^5\times5}\right)^3\right\}\\\\=\log_{10}\left(\frac{5^7\times2^7}{3^{14}}\times\frac{3^2\times2^6}{5^4}\times\frac{3^{12}}{2^{12}\times5^3}\right)\\\\=\log_{10}\left(\frac{2^{7+6}.3^{2+12}.5^7}{2^{12}.3^{14}.5^7}\right)\\\\=\log_{10}\left(\frac{2^{13}.3^{14}.5^7}{2^{12}.3^{14}.5^7}\right)\\\\=\log_{10}\left(2^{13-12}.3^{14-14}.5^{7-7}\right)\\\\=\log_{10}\left(2.3^0.5^0\right)\\\\=\log_{10}\left(2.1.1\right)\\\\=\log_{10}2 \]                  

(খ)  \[ \log_7\left(\sqrt[5]7.\sqrt7\right)-\log_3\sqrt[3]3+\log_42 \]

সমাধান : \[ \log_7\left(\sqrt[5]7.\sqrt7\right)-\log_3\sqrt[3]3+\log_42\\\\=\log_7\left(7^{\frac15.}7^\frac12\right)-\log_33^\frac13+\log_4\sqrt4\\\\=\log_7\left(7^{\frac15+\frac12}\right)-\frac13\log_33+\log_44^\frac12\\\\=\log_7\left(7^\frac{2+5}{10}\right)-\frac13\log_33+\frac12\log_44\\\\=\log_7\left(7^\frac7{10}\right)-\frac13.1+\frac12.1\\\\=\frac7{10}\log_77-\frac13+\frac12\\\\=\frac7{10}.1-\frac13+\frac12\\\\=\frac7{10}-\frac13+\frac12\\\\=\frac{21-10+15}{30}\\\\=\frac{26}{30}\\\\=\frac{13}{15} \] 

(গ)     \[ \log_e\frac{a^3b^3}{c^3}+\log_e\frac{b^3c^3}{d^3}+\log_e\frac{c^3d^3}{a^3}-3\log_eb^2c \]   

সমাধান : \[ \log_e\frac{a^3b^3}{c^3}+\log_e\frac{b^3c^3}{d^3}+\log_e\frac{c^3d^3}{a^3}-3\log_eb^2c\\\\=\log_e\left(\frac{a^3b^3}{c^3}.\frac{b^3c^3}{d^3}.\frac{c^3d^3}{a^3}\right)-3\log_eb^2c\\\\=\log_eb^6c^3-3\log_eb^2c\\\\=\log_e\left(b^2c\right)^3-3\log_eb^2c\\\\=3\log_eb^2c-3\log_eb^2c\\\\=0 \]      

SSC general math exercise 4.1 solution