এই পোস্টে SSC higher math chapter 2 solution | এসএসসি উচ্চতর গণিত অধ্যায় ২ সমাধান দেওয়া হয়েছে। প্রতিটি উদাহরণ ও অনুশীলনীর প্রশ্ন বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করে উপস্থাপন করা হয়েছে, যেন শিক্ষার্থীরা সহজে বুঝতে পারে। অধ্যায়টি ভালোভাবে অনুশীলনের মাধ্যমে বোঝাপড়া মজবুত হবে এবং পরীক্ষায় ভালো নম্বর পাওয়া সহজ হবে।
SSC higher math chapter 2 solution | এসএসসি উচ্চতর গণিত অধ্যায় ২ সমাধান
১. নিচের কোন রাশিটি প্রতিসম?
ক) a+b+c
খ) xy-yz+zx
গ) x2-y2+z2
ঘ) 2a2-5bc-c2
উত্তরঃ ক
২. P(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz হলে
(a) P(x,y,z) চক্রক্রমিক রাশি
(b) P(x,y,z) প্রতিসম রাশি
(c) P(1,-2,1)=0
নিচের কোনটি
সঠিক?
ক) a,b
খ) a,c
গ) b,c
ঘ) a,b,c
উত্তরঃ ঘ
x3+px2-x-7 এর একটি উৎপাদক x+7 হলে ৩ ও ৪ নাম্বার প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. P এর মান
কত?
ক) -7
খ) 7
গ) \frac{54}{7}
ঘ) 477
উত্তরঃ খ
৪. বহুপদীটির অপর উৎপাদকগুলোর গুণফল কত?
ক) (x-1)(x-1)
খ) (x+1)(x-2)
গ) (x-1)(x+3)
ঘ) (x+1)(x-1)
উত্তরঃ ঘ
৫. x4-5x3+7x2-a বহুপদীর একটি উৎপাদক x-2 হলে, দেখাও যে a=4।
সমাধানঃ
ধরি, P(x)=x4-5x3+7x2-a
x-2, P(x) এর একটি উৎপাদক হলে, P(2)=0 হবে।
∴ P(2)=24-5.23+7.22-a
বা, 0=16-40+28-a
বা, 0=4-a
বা, a=4 (দেখানো হলো)
৬. মনে কর, P(x)=ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a যেখানে a,b,c ধ্রুবক এবং a≠0। দেখাও যে, x-r যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে P(x) এর আরেকটি উৎপাদক হবে (rx-1)।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, P(x)=ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a
এখন P(r)=0 [x-r, P(x) এর উৎপাদক]
P(r)=ar5+br4+cr3+cr2+br+a
বা, ar5+br4+cr3+cr2+br+a=০……..(i)
এখন, rx-1, P(x) এর একটি উৎপাদক হলে P(\frac{1}{r})=0 হবে,
তাহলে,
P(\frac{1}{r})
=a(\frac{1}{r})5+b(\frac{1}{r})4+c(\frac{1}{r})3+c(\frac{1}{r})2+b(\frac{1}{r})+a
=(\frac{a}{r^5}) + ( \frac{b}{r^4})+ (\frac{c}{r^3}) + ( \frac{c}{r^2}) + (\frac{b}{r})+a
= \frac{ a+br+cr^2+cr^3+br^4+ar^5}{ r^5}
= \frac{0}{ r^5} [(i) নং হতে]
= 0
∴ (rx-1), p(x) এর একটি উৎপাদক (দেখানো হলো)
৭. উৎপাদকে বিশ্নেষণ কর (ক–জ):
ক) x4+7x3+17x2+17x+6
সমাধানঃ
ধরি, f(x)=x4+7x3+17x2+17x+6
∴ f(-1)=(-1)4+7(-1)3+17(-1)2+17(-1)+6
=1-7+17-17+6
=0
x-(-1) বা x+1, f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন,
x4+7x3+17x2+17x+6
=x4+x3+6x3+6x2+11x2+11x+6x+6
=x3(x+1)+6x2(x+1)+11x(x+1)+6(x+1)
=(x+1)(x3+6x2+11x+6)
আবার ধরি, g(x)=(x3+6x2+11x+6)
g(-1)= (-1)3+6(-1)2+11(-1)+6
=-1+6-11+6
=12-12
=0
∴ x+1, g(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3+6x2+11x+6
=x3+x3+5x2+5x+6x+6
=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)
=(x+1)(x2+5x+6)
=(x+1)(x2+3x+2x+6)
=(x+1){x(x+3)+2(x+3)}
=(x+1)(x+2)(x+3)
∴ x4+7x3+17x2+17x+6=(x+1)(x+1)(x+2)(x+3)
=(x+1)2(x+2)(x+3)
খ) 4a4+12a3+7a2-3a-2
সমাধানঃ
ধরি, f(a)=4a4+12a3+7a2-3a-2
f(-1)= 4(-1)4+12(-1)3+7(-1)2-3(-1)-2
=4-12+7+3-2
=14-14
=0
∴ (a+1), f(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4a4+12a3+7a2-3a-2
=4a4+4a3+8a3+8a2-a2-a-2a-2
=4a3(a+1)+8a2(a+1)-a(a+1)-2(a+1)
=(a+1)(4a3+8a2-a-2)
আবার, ধরি, g(a)= 4a4+8a2-a-2
g(-2)= 4(-2)3+8(-2)2-a-2
=4.(-8)+8.4+2-2
=-32+32+2-2
=0
∴ (a+2), g(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4a3+8a2-a-2
=4a2(a+2)-1(a+2)
=(a+2)(4a2-1)
=(a+2){(2a)2-12}
=(a+2)(2a-1)(2a+1)
∴ 4a4+12a3+7a2-3a-2=(a+1)(a+2)(2a-1)(2a+1)
গ) x3+2x2+2x+1
সমাধানঃ
ধরি, f(x)= x3+2x2+2x+1
f(-1)=(-1)3+2(-1)2+2(-1)+1
=-1+2-2+1
=0
∴ (x+1), f(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x3+2x2+2x+1
=x3+x2+x2+x+x+1
=x2(x+1)+x(x+1)+1(x+1)
=(x+1)(x2+x+1)
ঘ) x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz
সমাধানঃ
x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz
=xy2+z2x+yz2+x2y+zx2+zy2+3xyz
=(xy2+x2y+xyz)+(y2z+yz2+xyz)+(zx2+z2x+xyz)
=xy(y+x+z)+yz(y+x+z)+zx(y+x+z)
=(x+y+z)(xy+yz+zx)
ঙ) (x+1)2(y-z)+(y+1)2(z-x)+(z+1)2(x-y)
সমাধানঃ
(x+1)2(y-z)+(y+1)2(z-x)+(z+1)2(x-y)
=(x2+2x+1)(y-z)+(y2+2y+1)(z-x)+(z2+2z+1)(x-y)
=x2(y-z)+2x(y-z)+(y-z)+y2(z-x)+2y(z-x)+(z-x)+z2(x-y)+2z(x-y)+(x-y)
=x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)+2xy-2zx+2yz-2xy+2zx-2yz+-z+z-x+x-y
=x2y-zx2+y2z-xy2+z2(x-y)
=x2y-xy2-zx2+y2z+z2(x-y)
=xy(x-y)-z(x2-y2)+z2(x-y)
=(x-y){xy-z(x+y)+z2}
=(x-y)(xy-zx-zy+z2)
=(x-y){x(y-z)-z(y-z)}
=(x-y)(x-z)(y-z)
=-(x-y)(y-z)(z-x)
চ) b2c2(b2-c2)+c2a2(c2-a2)+a2b2(a2-b2)
সমাধানঃ
b2c2(b2-c2)+c2a2(c2-a2)+a2b2(a2-b2)
=b4c2-b2c4+c4a2-c2a4+a2b2(a2-b2)
=c4a2-b2c4+b4c2-c2a4+a2b2(a2-b2)
=c4(a2-b2)+c2(b4-a4)+a2b2(a2-b2)
=c4(a2-b2)+c2(b2-a2)(b2+a2)+a2b2(a2-b2)
=c4(a2-b2)-c2(a2-b2)(b2+a2)+a2b2(a2-b2)
=(a2-b2){c4-c2(b2+a2)+a2b2}
=(a2-b2)(c4-c2b2-c2a2+a2b2)
=(a2-b2){c2(c2-b2)-a2(c2-b2)
=(a2-b2)(c2-b2)(c2-a2)
=(a-b)(a+b)(c-b)(c+b)(c-a)(c+a)
=-(a+b)(a-b)(b-c)(b+c)(c-a)(c+a)
ছ) 15x2+2xy-24y2-x+24y-6
সমাধানঃ
15x2+2xy-24y2-x+24y-6
=15x2+20xy-10x-18xy-24y2+12y+9x+12y-6
=5x(3x+4y-2)-6y(3x+4y-2)+3(3x+4y-2)
=(3x+4y-2)(5x-6y+3)
জ) 15x2-24y2-6z2+2xy-xz+24yz
সমাধানঃ
15x2-24y2-6z2+2xy-xz+24yz
=15x2-18xy+9xz+20xy-24y2+12yz-10xz+12yz-6z2
=3x(5x-6y+3z)+4y(5x-6y+3z)-2z(5x-6y+3z)
=(5x-6y+3z)(3x+4y-2z)
৮.\frac{1}{ a^3} + \frac{1}{ b^3} + \frac{1}{ c^3} = \frac{3}{abc}
হলে
, bc + ca + ab = 0 বা a = b = c
সমাধানঃ
ধরি, (\frac{1}{a}) = x; (\frac{1}{b})=y; (\frac{1}{c})=z
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণ নিন্মরূপঃ
x3+y3+z3 = 3xyz
বা, x3+y3+z3-3xyz=0
বা, \frac{1}{2} (x+y+z){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}=0
∴ হয় (x+y+z)=0
বা, (\frac{1}{a})+( \frac{1}{b})+( \frac{1}{c}) = 0
বা, \frac{bc + ca + ab}{abc}= 0
বা, bc + ca + ab =0
অথবা,
(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
কিন্ত দুই বা ততোধিক বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।
সুতরাং,
(x-y)2=0
বা, x-y=0
বা, x=y
বা, (\frac{1}{a}) = (\frac{1}{b})
বা, a = b
একইভাবে পাই, b = c, c = a
অর্থাৎ, a = b = c
∴ bc + ca + ab = 0 বা a = b = c (দেখানো হলো)
৯. যদি x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c হয়, তবে দেখাও
যে, x3+y3+z3-3xyz=4(a3+b3+c3-3abc)।
সমাধানঃ
বামপক্ষ
=x3+y3+z3-3xyz
= \frac{1}{2} (x+y+x){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}
= \frac{1}{2} (b+c-a+c+a-b+a+b-c){(b+c-a-c-a+b)2+(c+a-b-a-b+c)2+(a+b-c-b-c+a)2} [x,y,z এর মান বসিয়ে]
= \frac{1}{2} (a+b+c){(2b-2a)2+(2c-2b)2+(2a-2c)2}
= \frac{1}{2} (a+b+c){4(a-b)2+4(b-c)2+4(c-a)2}
= 4. \frac{1}{2} (a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}
= 4(a3+b3+c3-3abc)
= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
১০. সরল কর
(ক–ঘ):
সমাধানঃ ক-ঘ এর সমাধান নিন্মে দেওয়া হলোঃ
১১. আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ (ক–ঙ)
ক) \frac{5x+4}{ x(x+2)}
সমাধানঃ
মনে করি,
\frac{5x+4}{ x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2} ….(i)
(i) এর উভয়পক্ষকে x(x+2) দ্বারা গুণ করে পাই,
5x+4=A(x+2)+Bx…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=0 বসিয়ে পাই,
0+4=2A+0
বা, A=2
আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=-2 বসিয়ে পাই,
-10+4=0-2B
বা, -6=2B
বা, B=3
A ও B এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
\frac{5x+4}{ x(x+2)} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x+2}
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ
\frac{2}{x} + \frac{3}{x+2}
খ) \frac{ x+2}{ x^2 - 7x + 12}
সমাধানঃ
এখানে,
x2-7x+12 = x2-3x-4x+12 = (x-3)(x-4)
সুতরাং,
\frac{ x+2}{ x^2-7x+12} = \frac{x+2}{(x-3)(x-4)}
মনে করি,
\frac{x+2}{(x-3)(x-4)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-4} ….(i)
(i) এর উভয়পক্ষকে (x-3)(x-4) দ্বারা গুণ করে পাই,
x+2=A(x-4)+B(x-3)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=3 বসিয়ে পাই,
3+2=A(3-4)+B(3-3)
বা, 5=-A
বা, A=-5
আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=4 বসিয়ে পাই,
4+2=A(4-4)+B(4-3)
বা, 6=B
বা, B=6
A ও B এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
\frac{x+2}{(x-3)(x-4)} = \frac{- 5}{x-3} + \frac{6}{x-4}
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ
\frac{6}{x-4} – \frac{ 5}{x-3}
গ) \frac{ x^2-9x-6}{ x(x-2)(x+3)}
সমাধানঃ
মনেকরি,
\frac{ x^2-9x-6}{ x(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x – 2} + \frac{C}{x + 3}
(i) এর উভয়পক্ষকে x(x-2)(x+3) দ্বারা গুণ করে পাই
x2-9x-6 = A(x-2)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-2)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,
-6 = A(-2)(3)+0+0
বা, -6 = -6A
বা, A = 1
আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই,
4-18-6=0+B.2(5)+0
বা, -20=10B
বা, B = -2
(ii) এর উভয়পক্ষে x = -3 বসিয়ে পাই,
9+27-6 = 0+0+C(-3)(-5)
বা, 30 = 15C
বা, C = 2
A, B ও C এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
\frac{ x^2-9x-6}{ x(x-2)(x+3)} = \frac{1}{x} - \frac{2}{x – 2} + \frac{2}{x + 3}
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ
\frac{1}{x} - \frac{2}{x – 2} + \frac{2}{x + 3}
ঘ) \frac{ x^2-4x-7}{ (x+1)(x^2+4)}
সমাধানঃ
মনেকরি,
\frac{ x^2-4x-7}{ (x+1)(x^2+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx + C}{x^2+4}
(i) এর উভয়পক্ষকে (x+1)(x2+4) দ্বারা গুণ করে পাই,
x2– 4x – 7 = A(x2+4) + (Bx + C)(x + 1)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=-1 বসিয়ে পাই,
(-1)2-4.(-1)-7 = A(1+4)
বা, 1+4-7 = 5A
বা, A= – \frac{2}{5}
আবার, (ii) নং থেকে x2, x এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
A+B=1
বা, – \frac{2}{5} + B =1
বা, B = \frac{7}{5}
এবং, B + C = – 4
বা, ( \frac{7}{5})+C = – 4
বা, C = – \frac{27}{5}
A, B ও C এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
ঙ) \frac{x^2 }{(2x + 1)(x^2 + 4)}
সমাধানঃ
মনেকরি,
\frac{x^2}{(2x+1)(x+3)^2} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x+3} + \frac{C}{ x+3)^2}
(i) এর উভয় পক্ষকে (2x+1)(x+3)2 দ্বারা গুণ করে পাই,
x2=A(x+3)2+B(2x+1)(x+3)+C(2x+1)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=-3 বসিয়ে পাই,
(-3)2=C{2(-3)+1}
বা, 9=-C(-6+1)
বা, 5C=9
বা, C = – \frac{9}{5}
আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x = – \frac{1}{2} বসিয়ে পাই,
(- \frac{1}{2})2=A(- \frac{1}{2} +3)2
বা, \frac{1}{4} =A{\frac{(- 1 + 6)}{2} }2
বা, \frac{1}{4} =A(\frac{5}{2})2
বা, \frac{1}{4} = A. \frac{25}{4}
বা, 1 = 25A
বা, A = \frac{1}{25}
(ii) নং থেকে x2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
A+2B = 1
বা, (\frac{1}{25})+2B=1
বা, 2B = 1 – (\frac{1}{25})
বা, 2B = \frac{25 – 1}{25}
বা, 2B = \frac{24}{25}
বা, B = \frac{12}{25}
A, B ও C এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,
১২. x,y,z এর একটি বহুপদী হলো F(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz
ক) দেখাও যে, F(x,y,z) হলো একটি চক্র–ক্রমিক রাশি।
খ) F(x,y,z) কে উৎপাদকে
বিশ্লেষণ কর এবং যদি F(x,y,z)=0, x+y+z≠0 হয়, তবে দেখাও যে, (x2+y2+z2)=(xy+yz+zx)
গ) যদি x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c হয়, তবে দেখাও যে, F(a,b,c) : F(x,y,z)= 1 : 4
সমাধানঃ
ক)
দেওয়া আছে, F(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz
প্রদত্ত রাশিটি x,y,z চলকের বহুপদী।
x এর স্থলে y, y এর স্থলে z এবং z এর স্থলে x বসিয়ে পাই,
F(y,z,x)=y2+z3+x3-3yzx
= x3+y3+z3-3xyz
দেখা যায় যে, চলকগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটি একই থাকে।
অর্থাৎ, F(x,y,z)=F(y,z,x)
সুতরাং F(x,y,z) একটি চক্র-ক্রমিক রাশি (দেখানো হলো)
খ)
F(x,y,z)
=x3+y3+z3-3xyz
=(x+y)3-3xy(x+y)+z2-3xyz
=(x+y)3+z3-3xy(x+y+z)
=(x+y+z){(x+y)2-(x+y).z+z2}-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x2+2xy+y2-zx-yz+z2-3xy)
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) (Ans.)
প্রশ্নমতে,
F(x,y,z)=0
বা, (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0
বা, (x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0 [(x+y+z)≠0]
বা, x2+y2+z2=xy+yz+zx (দেখানো হলো)
গ)
দেওয়া আছে, x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c
খ হতে পাই,
F(x,y,z)
=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
= \frac12 (x+y+x)(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx)
= \frac12 (x+y+z){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}
= \frac12 (b+c-a+c+a-b+a+b-c){(b+c-a-c-a+b)2+(c+a-b-a-b+c)2+(a+b-c-b-c+a)2} [x,y,z এর মান বসিয়ে]
= \frac12 (a+b+c){(2b-2a)2+(2c-2b)2+(2a-2c)2}
= \frac12 (a+b+c){4(a-b)2+4(b-c)2+4(c-a)2}
=4. \frac12.(a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}
=4(a3+b3+c3-3abc) [সূত্রানুসারে]
=4.F(a,b,c)
∴ F(x,y,z)=4.F(a,b,c)
বা, F(a,b,c) : F(x,y,z) = 1 : 4 (দেখানো হলো)
