Bd math olympiad national 2020 secondary question

Bd math olympiad national 2020 secondary question

১। m এমন একটি বাস্তব সংখ্যা যা 3^m = 4m সমীকরণ সিদ্ধ করে। \frac{3^{3^m}}{m^4} -এর সম্ভাব্য সকল মানের যোগফল বের করো।

Let be a real number such that the following equation holds: 3^m = 4m .  Compute the sum of all possible distinct values that \frac{3^{3^m}}{m^4} can take?

২। একটি বহুভুজকে ‘সুন্দর বহুভুজ’ বলা যাবে, যদি তার তিনটি শীর্ষ বেছে নেওয়া যায় যেন তাদের মাঝে 144° কোণ তৈরী হয়। n বাহু বিশিষ্ট এমন কতগুলো সুষম বহুভুজ আছে যাদেরকে সুন্দর বহুভুজ বলা যাবে যেখানে 8 < n ≤ 2024 ?

A polygon is called beautiful if you can pick three of its vertices to have an angle of 144° . Compute the number of integers 8 < n ≤ 2024 for which a regular n – gon is beautiful.

৩। একটা পার্টিতে 11 জন আছে। এদের মধ্যে কেউ কেউ পরস্পরের সাথে হ্যান্ডশেক করে। এই পার্টিতে যেকোনো তিনজনের মধ্যে এমন একজন আছে যে ওই তিনজনের বাকি দুইজনের সাথে হ্যান্ডশেক করে। ওই পার্টিতে সর্বনিম্ন কতগুলো হ্যান্ডশেক হতে পারে?

In a party of 11 people, certain pairs of people shake hands with each other. In every group of three people, there exists one person who shakes hands with the other two. What is the minimum number of handshakes that can take place at this party?

Bd Math Olympiad National 2020 Secondary Questions with Solutions

৪। ABCD একটি বর্গক্ষেত্র। P এবং Q যথাক্রমে BC এবং CD রেখাংশের উপর দুইটি বিন্দু যাতে করে ∠APQ = 90° হয়। দেওয়া আছে যে, AP = 4 এবং PQ = 1 । যদি AB -এর দৈর্ঘ্যকে লঘিষ্ঠ আকারে \frac{m}{n} হিসেবে লেখা যায়, তবে m + 10n -এর মান বের কর।

ABCD is a square. P and Q are two points in segment BC and CD respectively such that ∠APQ = 90° . It is given that AP = 4 and PQ = 1. If we express the length of segment AB as in lowest term, compute m + 10n.

৫। এমন কতগুলো বাস্তব সংখ্যা x_1,x_2,x_3,....... আছে যেখানে এর জন্য, n>0 হয় । ধরো, x_{n\;+\;3}=\;x_{n\;+\;2}-2x_{n\;+\;1}+\;x_n এবং x_{98}=\;x_{99} বলা হয়েছে । উপরের শর্ত অনুযায়ী, x_1 + x_2 + x_3 + ....... x_100

Let x_1,x_2,x_3,....... be real numbers so that for all n>0, x_{n\;+\;3} = \;x_{n\;+\;2}-2x_{n\;+\;1}+\;x_n . Suppose x_1 = x_2 = x_3 = 1 and you’re given that x_{98}=\;x_{99} . Find the sum x_1 + x_2 + x_3 + ....... x_100.

Secondary Level Math Olympiad Questions Bd 2020 National

৬। (1, 2, 3, 4, ………., n) সংখ্যাগুলোর একটা বিন্যাস – a_1 , a_2 , a_3 , ....... a_n কে বিন্যস্ত-প্রায় বলা হবে যদি ঠিক একটা i ∈ {1, 2, 3, 4, ………., n – 1} থাকে যার জন্য a_i >  a_i + 1 হয়। (1, 2, 3, 4, ………., 13) সংখ্যাগুলোর কতগুলো বিন্যস্ত-প্রায় বিন্যাস আছে?

A permutation a_1 , a_2 , a_3 , ....... a_n of the numbers (1, 2, 3, 4, ………., n) is called almost-sorted if there exists exactly one i ∈ {1, 2, 3, 4, ………., n – 1} such that a_i >  a_i + 1 . What is the number of almost-sorted permutations of the numbers (1, 2, 3, 4, ………., 13) ?
৭। ƒ হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট থেকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটে এমন একটা ফাংশন যেন যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n – এর জন্য যদি x_1 , x_2 , x_3 , ....... x_n সংখ্যাগুলো n- এর সবগুলো ধনাত্মক উৎপাদক হয়, তাহলে ƒ(x_1),  ƒ(x_1) ...... ƒ(x_s) = n . ƒ(343) + ƒ(3012)-এর সম্ভাব্য সকল মানের যোগফল নির্ণয় করো।

Let ƒ be  a function from the set of positive integers to the set of positive integers such that for each positive integer n, if [latex] x_1 , x_2 , x_3 , ....... x_n are all the positive divisors of n, then ƒ(x_1),  ƒ(x_1) ...... ƒ(x_s) = n . Find the sum of all possible values of ƒ(343) + ƒ(3012) 

Bangladesh Math Olympiad 2020 National Secondary Questions

৮।  ƒ:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}, f\left(ƒ\left(x+y\right)\right)=ƒ\left(x^2\right)+ƒ\left(y^2\right),ƒ\left(ƒ\left(2020\right)\right)=1010. ƒ(2025) এর মান বের করো।

ƒ:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}, f\left(ƒ\left(x+y\right)\right)=ƒ\left(x^2\right)+ƒ\left(y^2\right),ƒ\left(ƒ\left(2020\right)\right)=1010. Find ƒ(2025). 
৯। ΔABC  ত্রিভুজ -এ AB = 12, BC = 20, CA = 16 । AB এবং AC বাহুর উপর দুইটি বিন্দু যথাক্রমে X ও Y। XY রেখাংশের উপর এমন একটি বিন্দু যেন, \frac{XK}{KY} = \frac{7}{5} হয়। AB ও AC -এর উপর যদি X এবং Y-এর অবস্থানের পরিবর্তন করা হয়, তাহলে K -এর সঞ্চারপথ একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্র দখল করে। যদি এই ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফলকে লঘিষ্ঠ করে \frac{m}{n} আকারে লেখা যায়, তাহলে m + n এর মান কত?

In ABC , AB = 12, BC = 20, CA = 16. X and Y are two points in segment AB and AC respectively. K is a point on segment XY, such that \frac{XK}{KY} = \frac{7}{5} . If we let X and Y vary in segment AB and AC, all the positions of K covers a region. If we express the area of that region as \frac{m}{n} in lowest terms, compute m + n.

National Math Olympiad 2020 Secondary Question Paper Bangladesh

১০। রাহুল স্থানাংক তলে (3, 3) বিন্দুতে আছে। সে একধাপে হয় তার বিন্দুর একঘর উপরের বিন্দুতে যেতে পারে অথবা একঘর ডানের বিন্দুতে যেতে পারে। তার মৌলিক সংখ্যা খুবই পছন্দ, তাই সে কখনো এমন কোনো বিন্দুতে যাবে না যার ভুজ আর কোটি উভয়ই যৌগিক। সে কতভাবে (20, 13) বিন্দুতে পৌঁছাতে পারে?

Rahul is at (3, 3) on the coordinate plane. In each step, he can move one point up or one point to the right. He loves primes, and will never visit a coordinate point where both values are composite. In how many ways can he reach (20, 13) ? 
১১ উর্মি কম্পিউটারে একটা গেইম খেলছে। যদি কম্পিউটার স্ক্রিনে সংখ্যাটা দেখা যায়, তাহলে পরের চালে সে দুটো কাজ করতে পারবে।.

(a) সে হয় x-কে 4x + 1 দিয়ে পাল্টে দিতে পারবে.

(b) অথবা সে x - কে - \frac{x}{2} এর চেয়ে বড় না এমন সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা দিয়ে পাল্টে দিতে পারবে

স্ক্রিনে শুরুতে 0 সংখ্যাটা ছিল। শুন্য বা তার চেয়ে বেশি সংখ্যক চাল দিয়ে 2020-এর চেয়ে বড় না এমন কতগুলো পূর্ণসংখ্যায় উর্মি পৌঁছাতে পারবে? কোনো একটা সংখ্যায় পৌঁছাতে গিয়ে যদি মাঝে 2020 - এর চেয়ে বড় কিছু এসে পড়ে, তাহলে অসুবিধা নেই।

Urmi is playing a game on a computer. If the computer screen displays the number x, then in the next move, Urmi can do one of the following:.

Replace x by 4x + 1.

Replace x by the largest integer not greater than \frac{x}{2}
Initially, the computer screen displays 0. How many different integers less than or equal to 2020 can Urmi achieve through a sequence of moves? It is permitted for the number displayed on the screen to exceed 2020 during the sequence.
১২। জয়দীপ একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n -কে চমকপ্রদ বলে যদি মৌলিক সংখ্যার যেকোনো অসীম সেট থেকেই n টা মৌলিক সংখ্যা p_1 ,p_2 , p_3 , ....... p_n পাওয়া যায় যেন p_1 p_2 p_3 ....... p_n  - 1 সংখ্যাটা দ্বারা 2020 বিভাজ্য হয়। -এর চেয়ে ছোট সব চমকপ্রদ সংখ্যার যোগফল বের করো।

Joydip calls a positive integer n amazing if given any infinite set of primes, he can find n primes p_1 ,p_2 , p_3 , ....... p_n from it such that p_1 p_2 p_3 ....... p_n  - 1 is divisible by . Find the sum of all amazing numbers less than 2020.